六、建立如图

1 所示的质量-阻尼弹簧系统（MNK 系统）和如图 2 所示的电感-电阻-电容串联电路系统（LRC

系统）的微分方程与状态方程。比较上述模型的特点，并指出这个特点反映出系统建模的什么问题？对你

有什么启示？（

20 分）

图

1

图

2

取坐标轴

y，其原点 O 为系统静态平衡时质量 M 的质心位置。弹簧力 Ky 与位移 y 的方向相反，

阻尼力与速度 的方向相反，由牛顿力学第二定律，有：

整理得，微分方程：

设系统的状态变量为

x

1

，

x

2

分别表示

M 的位移 y 与速度 ，构成状态矢量为：

于是：

即

:

写成矩阵形式，即为系统的状态方程：

根据克希霍夫电压定律，有：

又，

，

把它们分别带入上式，则有：

因为，

Q 为电量，则上式可写为：

现选一组状态变量，用矢量表示则有：

，

所以状态方程为：

用矩阵方程表示为

:

将此式与上例中的状态方程矩阵形式相比较，则有以下对应关系：力

F--电源电压 Um；

速度

dy/dt—电流 I；位移 y—电量 Q；质量 M—电感 L；阻尼系数 N—电阻 R；弹簧刚度 K--电容

C 的倒数 1/C。

这表明机械系统与电路系统可以相互模拟。这两个系统称为相似系统。这种相似性称为力—电压