集合与简易逻辑
一、基础知识：(参阅《金牌之路·竞赛辅导·高中数学》第一讲：集合；第三十八讲：容斥原
理；《金牌之路·竞赛解题指导·高中数学》第 2 讲：集合)
元素与集合：a A,b(A

∈

集合与集合：A B,A(B,A(B,A∩B,A B, UA,……

∪

差集：A－B＝{x|x A

∈

且 x(B}(

“

部分资料上用 A\B”表示)

集合运算律：(略)
n 个元素的集合所有子集个数为：2n
覆盖与划分：如果集合 S＝S1 S2 …… Sn

∪ ∪

∪

，则 S1、S2 ……

、

、Sn 叫做集合 S 的一个覆

盖；如果同时又有 Si∩Sj＝φ(i≠j),则 S1、S2 ……

、

、Sn 叫做集合 S 的一个划分.

容斥原理：card(A B)

∪

＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)

          card(A B C)

∪ ∪

＝card(A)＋card(B)＋card(C)

                       －card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)
                       ＋card(A∩B∩C)
该结论可以推广到 n 个集合.

“ ” “ ” “ ”

命题与推理：简单命题与复合命题，逻辑关连词 或 、且 、非 的应用，逆命题、否命题、
逆否命题及其真假性的判断
充要条件：如果 A(B，则称 A 是 B 的充分条件，同时称 B 是 A 的必要条件
数学悖论：对于命题 p，如果 p

“

正确，则可以推导出 非 p”，而如果 p 错误，又可以推导

出 p

“

”

正确。也称 二难问题 。

二、例题：
已知集合 A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A B

∪

＝{1，3，x}，则这样的 x 的不同的值有( )

个
A.1 B.2 C.3 D.4
已知集合 M 中的元素都是自然数，且如果 x M

∈

，则 8－x M

∈

，则满足这样条件的集合

M 的个数为(    )(注：自然数包括 0)
A.64B.32C.16D.8
求集合{x Z|  EMBED Equation.3     ≤2x

∈

＜32}的真子集个数.

在 1～120 的 120 个自然数中，素数与合数各有多少个？
已知 M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且 M＝N，求 q 的值.
在数理化三科竞赛辅导中，高一 10、11、12 班参加数学辅导的有 168 人，参加物理辅导的
有 187 人，参加化学辅导的有 155 人，数学、物理两科都参加的有 139 人，数学、化学两科
都参加的有 127 人，物理、化学两科都参加的有 135 人，数理化三科都参加的有 102 人，
问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？
解：根据容斥原理，至少参加一科辅导的学生人数为：
168＋187＋155－139－127－135＋102＝211
求证：任意 n＋1 个整数中，总有两个整数的差能被 n 整除。
提示：利用余数构造 n 个集合，根据抽屉原理，至少有两个整数放在一个集合里，它们
同余，它们的差一定能被 n 整除.
证明：若购买超过 17 千克（整数千克）的粮食，只用 3 千克和 10 千克的粮票支付，而无
需要找补。
解：本题其实就是证明大于 17 的整数都能表示为 3m＋10n 的形式，其中 m,n 都是非负整
数.注意到：大于 17 的整数可以写成 3k,3k＋1,3k＋2(k≥6)的形式，而 3k＋1＝3(k－3)＋
10,3k＋2＝3(k－6)＋10×2，因此它们都能够表示成 3m＋10n 的形式，其中 m,n 都是非负