关于电磁场算子方程的一点总结和认识

谈谈对电磁场算子方程的一点总结和认识，算作抛砖引玉，相信会涌现出更多更精彩的分
析与评论。

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谢。
       要理解算子方程，首先要理解的就是算子的概念。哈密尔顿微分算子

▽，又称矢量微分

算子，其定义式为

▽＝（б/бx，б/бy，б/бz）。电磁场“三度”即梯度、旋度和散度均是藉此符

号定义的。其与物理场（标量场或矢量场）作用规律满足矢量代数运算法则。下面结合

“三

度

”具体说明。

       标量场的梯度定义式是

▽Φ＝gradΦ＝（бΦ/бx，бΦ/бy，бΦ/бz），根据矢量代数运算法

则，标量乘以矢量结果仍是矢量，因此标量场的梯度是矢量场；矢量场的旋度定义式为
▽×T＝curlT＝矢量场，根据矢量代数运算法则，两个矢量叉乘仍是矢量，因此矢量场的旋
度仍是矢量场；矢量场的散度定义式为

•

▽ T＝divT＝标量场，根据矢量代数运算法则，两

个矢量点乘是标量，因此矢量场的散度是标量场。
       数学家将哈密尔顿微分算子引入电磁学的初衷就是简化电磁场方程，便于同行交流。哈
密尔顿微分算子的经典应用就是高斯定理和斯托克斯定理。高斯定理描述的是：任何矢量的
法向分量对任何闭合曲面的积分，就等于该矢量的散度对该闭合曲面所包围成的体积的积
分。用哈密尔顿微分算子表达就是：∮

T•ds＝∫ •

▽ TdV。斯托克斯定理描述的是：任何有向曲

面上的曲面积分，就等于其边界曲线上的曲线积分。用哈密尔顿微分算子表达就是：
∮C•dl＝∫（▽×T）ds。
      下面分析哈密尔顿微分算子与物理场（标量场或矢量场）作用后的可能组合。
     （1）

▽×（▽Φ） （2） •

▽ （▽Φ） （3）▽（ •

▽ T）  （4） •

▽ （▽×T） （5）▽×（▽×T）

      根据矢量代数运算法则可以核实，以上是所有可能的组合。现在运用矢量代数运算法则
对以上各个表达式进行分析，以帮助大家理解和记忆。
      根据矢量代数运算法则，A×（AΦ）＝（A×A）Φ＝0，因此表达式（1）的结果为零。再
看看表达式（

4），根据矢量代数运算法则，A•（A×B）＝0，因为 A×B 垂直于 A，在 A 的

方向上就没有

A×B 的分量，其点乘结果自然是零。表达式（1）和（4）等于零这个事实在

物理学上有十分重要的应用。先谈谈表达式（

1）的应用，如若某矢量场 E 的旋度为零，我

们根据表达式（

1），我们猜想这个矢量场 E 可能是某标量场 Φ 的梯度，换句话说如若

▽×E＝0，则存在 Φ，使得 E＝▽Φ（事实上 E＝－▽Φ 亦可），大家至此可以看出这是静电
场中场强

E 和电位 Φ 的关系！再看表达式（4）的应用，如若某矢量场 B 的散度等于零，

我们根据表达式（

4），很自然想到这个矢量场 B 可能是某矢量场 A 的旋度，换句话说如

若

•

▽ B＝0，则存在 A，使得 B＝▽×A，大家再一次欣喜地看到这是磁场中磁感应强度 B 和

磁矢位

A 的关系！

      现在再来看其他几个表达式的意义。对于（2）式，运用矢量代数运算法则，

•

▽ （▽Φ）＝ •

▽ ▽Φ＝（ •

▽ ▽）Φ＝▽^2，现在出现了一个新的运算符▽^2，物理学家把它称

为拉普拉斯算子，

▽^2＝б^2/бx^2+б^2/бy^2+б^2/бz^2，很显然它是一个标量运算符。由于拉

普拉斯算子是一个标量运算符，就可以用它来对矢量进行运算，这意味着对直角坐标系的