小波分析在证券市场中的应用

    [摘 要] 指出有效市场理论的缺陷，利用具有良好时空变换特征的小波分析研究股票市场 ，
阐述上证指数和深成指数序列所具有的分形性质，并进行实证研究。

 

　　

[关键词] 有效市场 小波分析 分形 

　　

 

　　一、引言

 

　　股票市场是一个自由度极大的信息系统。传统的有关证券市场运行规律的理论都是基于
有效市场假说（

efficient Market Hypothesis，以下简称为 EMH)做出的研究，得出概率分布

近似服从正态分布或对数正态分布的结论。随着研究的深入，人们发现了正态收益率假设与
实际之间的偏差越来越多的异常现象，如

:EMH 无法解释的证券市场中的规模效应、季节效

应、小公司元月效应等。

 

　　有效市场理论的核心是价格对于信息反应的程度和速度。在

EMH 所作的诸多假设中, 

都采用了一种线性的范式来刻画市场

, 这正是所有关于 EMH 争论的症结所在, 而社会经济

系统

, 包括金融市场, 从本质上讲是非线性的, 我们需用一种新的经济机理来解释市场复杂的

波动特性。

Edgar E. Peters 从非线性的观点出发，提出了更符合实际的资本市场基本假设一

分形市场假说

[2](Fractal Market Hypothesis，以下简称为 FMH)，从而为人们准确刻画证券

市场结构特征开辟了新的视角，为解释

EMH 等传统资本市场理论所不能解释的异常现象

提供了新的理论框架。

 

　　二、分形市场理论

 

　　分形市场理论认为，只用随机的观点和方法来研究金融时间序列，必然会损失金融市
场中包含的丰富信息。金融时间序列具有其内在的相关性，并且这种相关性是长期的，也就
是说金融时间序列不是随机的而是分形的，叫做分维时间序列，它不服从随机游走模型和
正态分布规律，而是服从分形分布，在均值处有高峰和厚尾等非线性现象。

Mandelbrot 认为，

从随机分布到分形分布是由整数维时间序列向分数维时间序列扩展，布朗运动向分数布朗
运动扩展。分形的外在表现形式是自相似，分形的内在生成机理是迭代函数系统（

Interated 

Function System，IFS)。 
　　定义

1FBM(分数布朗运动)令 H 满足 0　　 

　　其中，

(・)为函数，B(s)为布朗运动，H 为 hurst 指数。 

　　分数布朗运动是布朗运动的推广。分数布朗运动的特征是具有持久性或者说

“长程相关

性

”。Hurst 指数值决定了时间序列的性质，即若 H＝1/2，则 BH(t)=B(s)，分数布朗运动退化

为布朗运动。在离散情况下，

FBM 成为分数差分噪声。 

　　整数维时间序列的局限性使其未能揭示市场真实的波动特性，分维时间序列包含并且
扩展了整数维时间序列

, 因此, 它具有整数维时间序列所不具有的诸多非线性特性, 如长记忆

性、自相似性、

IFS 生成机理等等, 从而可以更加准确地刻画金融市场的波动特性。 

　　如果信号具有自相似性，则在分解后会发现小波系数的图形在许多尺度上看上去很相
似。因此，如果某个信号的连续小波变换系数在很多尺度上相似，那么该信号就具有自相似
性，从而可用自相似或分形的知识研究。若对某一股票价格的数据每天采样一次，然后做出
价格关于时间变化的曲线，与每星期采样一次做出的曲线，在统计学意义上是相似的，因
此可求其分数维。

 

　　在实际应用中计算分形维数的方法有很多，如相似维、容量维、盒子维

(Minkowski 维)、

信息维、关联维、广义分形维等。而小波分析被誉为数学的显微镜，十分适合分析具有自相似
性股价指数曲线。

 

　　股价指数序列｛

X(t)

∶t=1,2,…｝具有统计自相似性，即自相似的随机过程是在概率分布