非滑移条件 ,其速度必然消失 ,则 :

　　　　f ( +α) = f ( - α) = 0

(6)

设 z 方向上板的宽度为 W ,则在宽度 W

上的流量为 :

　　　　

Q =

∫

α

-

α

V r

・

w

・

rd

θ

(7)

则单位宽度上的流率为 :

q =

Q

W

=

∫

α

-

α

V r

・

rd

θ

=

∫

α

-

α

f (

θ

) d

θ

(8)

对应于给定的 q ,则可部分地确定 f (θ) ,

并且这里规定流向尖角的收缩流的 q 取负
值 。

由于 V

θ

= V

z

= 0 , 5

5t =

5

5z = 0

则 r 和θ分量的 N・S 方程可变为 :

　　

ρV

r

=

5V

r

5r = -

5p

5r +

η[ 5

5r

1

r

5

5r

(rVr) +

　　　　1

r

2

5

2

V

r

5θ

2

]

(9)

　　0 = -

1

r

5P

5θ

+η

z

r

2

5V

r

5θ

(10)

将式 (5) 代入式 (9) 和式 (10) ,则有 :

　　　　-ρ

f

2

r

3

= - 5

P

5r +

η

r

3

d

2

f

dθ

2

(11)

　　　　0 = - 5

P

5θ

+

2η

r

2

df

dθ

(12)

式 (11) 对θ求导 ,式 (12) 对 r 求导 ,则有 :

　　　　-

2ρ

r

3

f

df

dθ

= - 5

2

P

5θ5r +

η

r

3

d

3

f

dθ

3

(13)

　　　　0 = - 5

2

p

5θ5r -

4η

r

3

df

dθ

(14)

式 (13) 与式 (14) 相减 ,则可以消去压力

项 ,从而有 :

　　　　-

2ρ

r

3

f

df

dθ

=

η

r

3

d

3

f

dθ

3

+

4η

r

3

df

dθ

(15)

式 (15) 的各项分别乘以

r

3

η ,则有 :

　　　　(2

ρ

η) f

df

dθ

+

d

3

f

dθ

3

+ 4

df

dθ

= 0

(16)

式 (16) 不含有 r ,这和我们前面的假定

是相容的 。这是一条三次的常微分方程 ,其
解需要 f (θ) 的三个边界条件或流动条件 ,亦
就是式 (6) 和式 (8) 。

我们将定义一个无量纲角 < 和一个无量

纲流动变量 F ,从而将独立的和非独立的变
量进行无量纲化 。

其中 :

< =

θ
α

(17)

F =

αf

q

(18)

< 介于 + 1 和 - 1 之间 ,则此时方程式

(16) 及其边界条件和流动条件可表达如下 :

　　

R F

d F

d

<

+

d

3

F

d

<

3

+

4α

2

d F
d

<

=

0

∫

1

-

1

F ( -

1

) = F ( +

1

) =

0

F (

<

) d

<

=

1

to　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　 　

　

　 　

　

　 　 　 　

　

　

　

　

　

　

　 　 　 　 　

　

　 屈

繮

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

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