·
1020
· 天 津 大 学 学 报 第 40 卷 第 9 期
题，提供了一个新的研究思路．鲁棒优化技术是硬约
束规划，针对给定的具体不确定集下的最优解具有数
据依赖低敏感性且完全满足约束条件的优点，有着良
好的优化效果
［
1
—
3
］
．
文献［4—６］研究了不确定线性系统的鲁棒优
化理论，笔者在此基础上研究了鲁棒优化理论在电梯
群控调度中的具体应用，建立了电梯群控调度的鲁棒
优化模型，并采用遗传算法进行求解，最后利用电梯
群控虚拟仿真环境实现了鲁棒优化调度算法的仿真
验证．
1 不确定线性系统的鲁棒优化理论
1.1 不确定线性系统的鲁棒优化模型
定义 1 含有不确定性的优化问题描述为
min ( , )
f x
ξ
s.t. ( , ) 0,
,
1, 2,
,
i
g x
U i
m
ξ
ξ
∀ ∈
=
≤
（1）
式中：
ξ 为不确定参数；U 为不确定集．若U 是闭的
有界集，则称之为鲁棒优化问题．若目标函数和约束
条件均是线性的，则称之为不确定线性系统的鲁棒优
化问题．笔者研究的电梯群控调度问题属于不确定线
性系统的鲁棒优化问题．
1.2 不确定线性系统鲁棒优化问题求解的关键点
鲁棒优化理论所求最优解在最坏情况下依然保
持最优性
［
7
—
8
］
．鲁棒优化的核心思想是将初始问题在
具体的不确定集上以一定的近似程度转化为多项式
时间内可解决的确定优化问题（初始问题的鲁棒对等
问题）来进行求解，并且可以估计最优解的误差范
围
［
9
—
10
］
．其中最为关键的两点是如何选择不确定集
和初始问题如何转化为相应的鲁棒对等问题．
1.2.1 不确定集的选择
选择基于椭球体的不确定集，因为如果椭球体交
集的参数选择合适，可以将“椭球体不确定性”作为
优化问题的输入进行处理．对于一般的线性规划问
题，以椭球体不确定集表示的问题（P
u
）有着非常好
的分析结构，且（P
u
）的鲁棒对等式被证明是一个确
定的锥二次规划问题．
1.2.2 初始优化问题转化为鲁棒对等式问题
考虑一个含不确定性的线性系统优化问题，其初
始模型如下：
{
}
{
}
T
[ ; ]
(P) min
:
0
∈
+ ≥
A b U
c x Ax
b
（2）
式中U 为参数系数矩阵 A 和 b 所属的不确定集．U 的
表达式为
0
0
1
[ ; ]
[
;
]
[
;
]
j
j
j
j
u
=
⎧
=
=
+
+
⎨
⎩
∑
k
U
A b
A b
A b
T
1
[
;
]
1
q
p
p
p
p
v
=
⎫
⎬
⎭
∑
≤
C
d
u u
（3）
根据下述定理可以在适当的椭球体不确定集下
实现从初始问题到鲁棒对等式问题的转化
［
11
—
13
］
．
定理 1 一个带有椭球体不确定集的线性优化问
题(Ｐ)的鲁棒对等式(
*
P
)
是一个锥二次优化问题，其
参数可由线性优化的结构参数 m、n 和定义不确定性
椭球体集的参数表示．
式（2）可转化为鲁棒对等问题，即
*
T
(P ) min
x
c x
0
0
2
1
0,
1, 2,
,
s.t .
(
) ,
1, 2,
,
p
p
i
i
k
j
j
i
i
i
i
j
C x
d
p
q
A x b
A x b
i
m
=
⎧
+
=
=
⎪
⎨
+
+
=
⎪
⎩
∑
≥
（4）
可以看出，不确定线性优化问题可以转化为一个
确定的锥二次优化问题．鲁棒优化正是利用易于表达
的椭球体不确定集将难于处理的无限优化问题转化
为一个简单易处理的锥二次优化问题．而对于锥二次
优化问题的求解已经有很多成熟的方法．
通过以上分析可知，带有不确定性因素的电梯群
控调度的线性优化模型在适当的椭球体不确定集定
义下可以转化成一个确定的且在多项式时间内可以
求解的锥二次优化问题．这样就可以针对转化后的确
定问题进行求解．
2 鲁棒优化模型
2.1 机理模型
本文将电梯群控调度作为一个不确定优化问题
进行处理，分别考虑了决策变量、目标函数和不确定
参数等模型的组成部分．
根据电梯群控调度的机理，统计输入的每层上下
行外呼乘客总数，然后计算每部电梯响应每层楼上下
行外呼的成本，经计算决策输出派梯号，采用按层派
梯的原则取代按人派梯的原则避免了多部电梯同时
服务一个楼层的不合理现象的发生．目标函数为多项
调度指标的加权综合且权值可以调节，可以满足不同
的调度期望；对于参数的不确定性则用椭球体不确定
集来表示．
配有 4 部电梯的 16 层建筑的电梯群控系统如图