表
２
电梯的各阶固有频率
第一阶
０．９４
第二阶
３．０４
第三阶
９．９３
第四阶
１１．５６
第五阶
１２３．７６
第六阶
２６８．１２
第七阶
６２２．４８
序号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
１６
１７
１８
参数
轿架质量
／ｋｇ
轿厢质量
／ｋｇ
额定载荷
／ｋｇ
平衡系数
曳引轮和导向轮质量
／ｋｇ
曳引轮转动惯量
／Ｎｍ
２
曳引轮半径
／ｍ
钢丝绳数量
／
根
钢丝绳杨氏模量
／Ｎ
・
ｍ
－ ２
钢丝绳横截面积
／ｍ
２
绳头弹簧钢度
／Ｎ
・
ｍ
－ １
超载橡胶刚度
／Ｎ
・
ｍ
－ １
承重梁及减振垫刚度
／Ｎ
・
ｍ
－ １
曳引机的抗扭刚度
／Ｎ
・
ｍ
－ １
提升高度
／ｍ
轿厢高度
／ｍ
对重高度
／ｍ
模态阻尼比
数值
４００
８００
１０００
０．４６
１６００
１０７３０
０．３
８
２．０７×１０
１１
６１．２５×１０
６
１．８７５×１０
５
４．８７×１０
６
７．０２×１０
８
１．１５×１０
８
６０
２．６
３．３
０．０３
备注
ｍ
３
计算对重使用参数
ｍ
２
Ｉ
１
ｒ
１
ｎ
Ｅ
Ａ
ｋ
ｓ
ｋ
４
ｋ
０
ｋ
ｍ
Ｓ
ξ
ｉ
表
１
电梯的原始参数
ｋ
０
ｃ
０
ｘ
２
ｍ
２
，
Ｉ
１
，
ｒ
１
ｋ
ｍ
"
１
#
ｋ
１
ｃ
１
ｘ
３
ｍ
１
ｋ
２
ｃ
２
ｍ
３
ｘ
１
ｋ
４
ｃ
４
ｋ
３
ｃ
３
ｋ
５
ｃ
５
ｘ
５
ｍ
４
ｘ
４
ｍ
５
，
Ｉ
２
，
ｒ
２
"
２
图
１
电梯机械系统动力学模型
和 张 紧 轮 的 转 角
"
１
、
"
２
，
可用向量表示为
：
Ｘ＝
［
ｘ
１
，
ｘ
２
，
ｘ
３
，
ｘ
４
，
ｘ
５
，
"
１
，
"
２
］
Ｔ
根 据 拉 格 朗 日 第 二
类 方 程 推 导 系 统 的 振 动
微 分 方 程 组
， 系 统 的 振
动方程可通过动能
Ｔ
、位
能
（ 势能）
Ｖ
、能量散 失 函
数
Ｄ
来表示。即
：
ｄ
ｄｔ
$Ｔ
$ｘ
ｉ
! "
－ $Ｔ
$ｘ
ｉ
＋ $Ｖ
$ｘ
ｉ
＋
$Ｄ
$ｘ
ｉ
＝Ｑ
ｉ
（
ｉ＝１
，
２
， …，
７
）
（
１
）
Ｑ
ｉ
为系 统 的 外 部 激 振 力
（ 干扰力） 。
得到系统的运动微分方程
：
［
Ｍ
］｛
ｘ#
｝
＋
［
Ｃ
］｛
ｘ%
｝
＋
［
Ｋ
］｛
ｘ
｝
＝
［
Ｑ
］
（
２
）
式中
：［
Ｍ
］ 、
［
Ｃ
］ 、
［
Ｋ
］ 分别表示系统的质量、刚度和阻尼矩
阵
；［
Ｑ
］ 表示激励阵
［
１
］
。
根据某电梯厂提供的电梯参数
， 如表
１
所示。
运用广义特征值法可以求出电梯的固有频率
， 如表
２
所示。
３
电梯参数灵敏度分析
在电梯的工程减振问题中
， 如果曳引电动机的转动频
率与电梯系统的某一阶固有频率一致或接近的话
， 电梯将
会发生共振现象
， 因此， 研究电梯的结构参数对固有频率
的灵敏度是改变固有频率以避开曳引电动机旋转频率的
前提基础。电梯结构参数灵敏度定义为
：
电梯参数的变化
引起电梯振动的固有频率的变化
， 参数在某一定值附近的
小范围内变化时
， 固有频率变化的大小与参数变化的大小
的比值称为灵敏度。在工程实践中
， 可以假设参数与频率
都是连续可微的
， 因此灵敏度就可以用偏导数
$#
$ｓ
来 表
示
， 其中
#
为电梯振动的固有频率
，
ｓ
为电梯参数。
因为刚度系数在小范围内变化
， 可假设质量矩阵与
刚度矩阵的变化不大
， 从而特征向量可认为近似不变。
如果设
ＡＮ
ｉ
为该定点处对应 的 系 统 矩 阵 在
ｉ
阶 固 有
频率
#
ｉ
下的正则化了的特征向量
， 则有：
ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
Ｍ
・
ＡＮ
ｉ
＝Ｉ
（
３
）
ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
Ｋ
・
ＡＮ
ｉ
＝#
２
ｉ
（
４
）
令
Ｂ
ｉ
＝Ｋ－ #
２
ｉ
・
Ｍ
带入式
（
３
） 和式（
４
） 得：
ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
Ｂ
ｉ
・
ＡＮ
ｉ
＝０
（
５
）
对式
（
５
） 两边对
ｓ
求偏导数得
：
$ＡＮ
Ｔ
ｉ
$ｓ
・
Ｂ
ｉ
・
ＡＮ
ｉ
＋ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
$Ｂ
ｉ
$ｓ
・
ＡＮ
ｉ
＋ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
Ｂ
ｉ
・
$ＡＮ
ｉ
$ｓ
＝０
（
６
）
由于
ＡＮ
ｉ
为正则化了的特征向量
， 则有：
Ｂ
ｉ
・
ＡＮ
ｉ
＝０
（
７
）
对于简单的多自由度系统
， 振动理论已经证明了质量矩
阵与刚度矩阵都是对称矩阵
， 从而有系统矩阵
Ｂ
ｉ
也 是 对
称矩阵
， 所以有： （
Ｂ
ｉ
・
ＡＮ
ｉ
）
Ｔ
＝ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
Ｂ
Ｔ
ｉ
＝ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
Ｂ
ｉ
＝０
（
８
）
带入式
（
６
） 可得：
ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
$Ｂ
ｉ
$ｓ
・
ＡＮ
ｉ
＝０
（
９
）
将
Ｂ
ｉ
带入并展开得
：
$#
ｉ
$ｓ
＝ １
２#
ｉ
・
ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
$Ｋ
$ｓ
・
ＡＮ
ｉ
－ １
２
・
#
ｉ
・
ＡＮ
Ｔ
ｉ
・
$Ｍ
$ｓ
・
ＡＮ
ｉ
（
１０
）
式
（
１０
） 即为各个刚度系数对固有频率灵敏度的计算公式。
电梯在运行过程中
， 其质量矩阵可近似认为是不变
的
， 钢丝绳的刚度是随电梯运行到不同位置而发生变化，
电梯结构参数中刚度参数对电梯系统的动态特性影响比
较大
， 故本文主要研究电梯刚度参数对固有频率的灵敏
度问题。根据刚度矩阵和质量矩阵和灵敏度计算公式
， 可
以计算得出以下各刚度参数的灵敏度值如表
３
。
由表
３
可以看出
：
第一阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
１
，
ｋ
２
，
ｋ
３
，
ｋ
５
，
ｋ
ｓ
。
第二阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
１
，
ｋ
２
，
ｋ
３
，
ｋ
５
，
ｋ
ｓ
。
第三阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
１
，
ｋ
２
，
ｋ
３
，
ｋ
４
，
ｋ
５
，
ｋ
ｓ
。
第四阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
１
，
ｋ
２
，
ｋ
３
，
ｋ
５
，
ｋ
ｓ
。
第五阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
２
，
ｋ
３
，
ｋ
４
，
ｋ
ｓ
。
第六阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
１
，
ｋ
２
，
ｋ
ｍ
，
ｋ
ｓ
。
第七阶固有频率的参数灵敏度值较大的相关参数是
ｋ
０
，
ｋ
１
，
ｋ
２
，
ｋ
ｓ
。
通过动态响应曲线看出无论电梯的载荷与位置如何
５０
机械工程师
２００７ 年第 ９ 期
Ｒ
研 究 探 讨
ＲＥＳ ＥＡＲＣＨ
＆
ＤＩＳ ＣＵＳ Ｓ ＩＯＮ