M
bf
=
M
f
cos
(
θ- 2
π
3
)
M
cf
=
M
f
cos
(
θ+ 2
π
3
)
式中
L
m
—
—
—定子自感
;
L
σ
—
—
—定子漏感
;
M
f
—
—
—永磁体等效互感系数
;
θ———d 轴与 a 轴的夹角 。
则式
(
2
)
写成矩阵形式为
ψ
a
ψ
b
ψ
c
=
L
- 0
.
5
L
- 0
.
5
L
- 0
.
5
L
L
- 0
.
5
L
- 0
.
5
L
- 0
.
5
L
L
i
a
i
b
i
c
+
M
f
cos
(
θ
)
M
f
cos
(
θ- 2
π
3
)
M
f
cos
(
θ+ 2
π
3
)
i
f
(
4
)
从式
(
4
)
中可以看到三相绕组的磁链与电流之
间是互相耦合的
,
无法对其一相进行单独控制 。
1 . 2
永磁同步直线电机在 d
-
q 坐标系中的方程
为便于分析
,
电机方程通过坐标变换来实现耦
合方程的解耦 。按照统一电机理论
,
三相静止坐标
系
abc
与
dq
坐标系之间的变换公式为
:
C
abc
-
dq
=
2
3
cosθ
cos
(
θ- 2
π
3
)
cos (θ+
2π
3
)
- sinθ
- sin
(
θ- 2
π
3
)
- sin (θ+
2π
3
)
1
2
1
2
1
2
(5)
C
dq
-
abc
=
2
3
cosθ
- sinθ
1
2
cos (θ-
2π
3
)
- sin
(
θ- 2
π
3
)
1
2
cos (θ+
2π
3
)
- sin (θ+
2π
3
)
1
2
(6)
这样 ,dq 坐标系下的定子电压方程为
u
a
u
b
u
c
=
C
dq
-
abc
u
d
u
q
u
0
(
7
)
对于电流和磁链同样有这种变换
i
abc
=
C
dq
-
abc
i
dq
,
ψ
abc
=
C
dq
-
abc
ψ
dq
(
8
)
其中
i
abc
=
[ i
a
i
b
i
c
]
T
, i
dq
=
[ i
d
i
q
i
0
]
T
,
ψ
abc
=
[
ψ
a
ψ
b
ψ
c
]
T
,
ψ
dq
=
[
ψ
d
ψ
q
ψ
0
]
T
。
将式
(
1
)
、
式
(
5
)
、
式
(
6
)
、
式
(
8
)
带入式
(
7
) ,
经计
算可以得到
dq
轴下的电压方程
u
d
=
Ri
d
+
p
ψ
d
- ω
ψ
q
(
9
)
u
q
=
Ri
q
+
p
ψ
q
+ ω
ψ
d
u
0
=
Ri
0
+
p
ψ
0
式中
R
—
—
—每相绕组电阻值
;
ω———永磁直线电机平移速度折合成的旋转
电机角速度 ,rad/ s ,ω=
(
π/τ
) v ;
v
—
—
—平移速度
,
m/ s
;
τ———磁极中心距
,
m。
同样对式
(
4
)
的磁链方程进行坐标变换
,
变换后
的磁链方程为
ψ
d
ψ
q
=
C
abc
-
dq
L
d
0
L
q
i
d
i
q
+
M
d
0
i
f
(
10
)
L
d
=
L
q
= 1
.
5
( L
m
+
L
σ
)
M
d
=
3 3
4
M
f
式中
L
d
, L
q
—
—
—直轴同步电感系数和交轴同
步电感系数 。
在理想情况下
,
即直线电机三相绕组对称
,
气隙
磁场均匀分布
,
感应反电势呈正弦波时
,
可以认为
d
q
轴电感相同
( L
d
=
L
q
) ,
由式
(
10
)
可以看出
,
经过
坐标变换后
,
直轴与交轴的磁链和电流实现了解耦 。
电机的电磁推力方程
F
e
=
3
N
p
π
2τ
(
ψ
d
i
q
- ψ
q
i
d
)
(
11
)
式中
F
e
—
—
—电磁力
;
N
p
—
—
—极对数 。
将式
(
10
)
带入式
(
11
)
有
F
e
=
3
N
p
π
2τ
[
ψ
f
i
q
+
( L
d
-
L
q
) i
d
i
d
]
(
12
)
电机的机械运动方程
F
e
=
F
L
+
B
v
v
+
Mpv
(
13
)
式中
F
L
—
—
—负载阻力
;
v
—
—
—机械运动速度
;
B
v
—
—
—与速度有关的阻尼系数
;
M
—
—
—运动部分的质量
, M
=
M
L
+
M
r
;
M
r
—
—
—动子的质量
;
M
L
—
—
—动子带动的负载的质量
;
p
—
—
—微分算子 。
式
(
9
)
、
式
(
10
)
、
式
(
12
)
、
式
(
13
)
即构成永磁同步
直线电机在
dq
坐标系下的数学模型 。
2
SIMULINK下 PMLSM 的仿真模型
根据上面建立的永磁直线同步电动机的数学模
型 ,利用 Simulink 仿真环境建立了永磁直线同步电
机的仿真模型 ,由式 (9) 和式 (10) 可以建立 PMLSM
的电流方程
g¾
i
d
g¾
i
q
=
-
R
L
d
L
q
ω
L
d
-
L
d
ω
L
q
-
R
L
q
i
d
i
q
+
u
d
L
d
u
q
- ψ
f
ω
L
q
・418 ・ 永磁直线同步电机矢量控制模型及仿真的研究 ———朱晓东 ,等 第 27 卷第 3 期