整数.
设 A 是数集，满足若 a A

∈

  

，则 EMBED Equation.3      A

∈

，且 1(A.

⑴若 2 A

∈

，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.

⑵ A 能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论.
⑶若 a A

∈

，证明：1   

－ EMBED Equation.3      A.

∈

解：⑴ 2 A  (  

∈

－1 A  (    EMBED Equation.3      A  (  2 A

∈

∈

∈

 

∴ A 中至少还有两个元素：－1

  

和 EMBED Equation.3     

⑵如果 A 为单元素集合，则 a   

＝ EMBED Equation.3     

即 a2－a＋1＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
但该方程有两个虚数解：a   

＝ EMBED Equation.3     i

故在复数范围内，A 可以是单元素集，A＝{  EMBED Equation.3     i}或 A＝{  EMBED 
Equation.3     i}
⑶ a A  (    EMBED Equation.3      A  (    EMBED Equation.3      A

∈

∈

∈

，即 1

  

－ EMBED 

Equation.3      A

∈

设 S 为集合{1，2，3 ……

，

，50}的一个子集，且 S 中任意两个元素之和不能被 7 整除，

则 S 中元素最多有多少个？
将这 50 个数按照 7 的余数划分成 7 个集合
A0={7,14,21,28,35,42,49}
A1={1,8,15,22,29,36,43,50}
A2={2,9,16,23,30,37,44}
A3={3,10,17,24,31,38,45}
A4={4,11,18,25,32,39,46}
A5={5,12,19,26,33,40,47}
A6={6,13,20,27,34,41,48}
除去 A0 中的 7 个元素外，其余集合中的元素都不能被 7 整除，而且其余六个集合的每一
个集合中任意两个元素之和也不能被 7 整除，但是，A1 和 A6、A2 和 A5、A3 和 A4 中如果
各取一个元素的话，这两个元素之和能够被 7 整除，因此，所求集合中的元素可以这样
构成：A0 中取一个，然后在 A1 和 A6、A2 和 A5、A3 和 A4 每一组的两个集合中取一个集

“

”

合中的所有元素，为了 最多 ，必须取 A1 中的 8 个，然后可以取 A2、A3 中各 7 个元素，
因此 S 中元素最多有 1+8+7+7=23 个
已知集合 A 中有 10 个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个 A 的子
集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.
解：这 10 个元素的总和 S＜100×10＝1000
而 A 的子集总共有 210＝1024＞1000＞S
根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为 M、N，
如果 M、N 没有公共元素，则 M、N 就是满足题意的子集，命题得证.
如果 M、N 中有公共元素，记 M∩N＝Q,
考查集合 M'＝M－Q,N'＝N－Q
则 M'、N'中没有公共元素，且 M'、N'的元素之和相等，同时它们都是 A 的子集.
即 M'、N'为所求集合.
命题成立！
老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子，他让三个学生按前后顺序站成一列，然后
让他们闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，并将剩下的两顶帽子藏了起来，三人睁开