(1) 

where (u, 0) are the surface parameters of .

The family of surfaces, is generated in and is represented as                           (2) 

where matrix , describes the coordinate transformation from , to .

We assume that the family of surfaces , obtained by vector equation (2) satisfies the 
following requirements in the space

(1)

(2) Parameters  are independent (they are not related by a function  or  and ,, is indeed 
a two-parameter family of surfaces.

(3) Vector function  where  are the given values represents a regular surface, that is 
represented as .
Taking into account the requirement mentioned above, we say that

     (3)      

And  are independent.

3. Necessary condition of envelope existence applied in differential 

geometry 

Assume that a set of parameters

1

Σ

ϕ

φ

,

Σ

1

Σ

2

S

21

M

1

S

2

S

ψ

φ

,

Σ

:

)

,

(

,

)

,

(

A

E

u

∈

∈

ψ

φ

θ

)

,

(

ψ

φ

)

(

ψ

φ

))

(

φ

ψ

ψ

φ

,

Σ

)

,

,

,

(

1

1

2

ϕ

φ

θ

u

r

)

,

(

1

1

ψ

φ

)

,

(

1

1

ψ

φ