麦的月平均价格；

1816-1951 期间，纽约交换市场棉花的价格)，出乎意料之外，他发

现的是这些价格并没有任何节奏性、周期性或趋势性。进而他得到的结论是

“

… the 

demon of chance drew a random number 

… and added it to the current price to determine the 

next 

… price”。换言之，的行为象是一随机漫步(random walk)。

然而从历史的角度来看，法国

天才数学家

Bachelier (1900)才是第

一位利用随机漫步去描述价格走势的学者。他假设价格

(注意他并未对做对数转换)在瞬

间的表现为

,                  (2.2)

其中为初始价格，为独立同

分布的随机变量，且取值在及的机率各

为。因此

     .                 (2.3)

令

, 以及让, Bachelier 发现(2.2)

的极限过程为其中

(注意此极限是

在某特定的机率意义下

)，且有下列表示式：

,                         (2.4)

其中

,()为标准布朗运动

(standard Brownian motion)或
称为

Wiener 过程。此为最早描述价格的模型，虽然其数学性质简单，但它的缺点为价

格可能为负值而与实际状况不相符。

以下我们用台积电股价的例子来做

进一步的说明。在图

2.1 中，我们将台积电

在民国

83 年 9 月上市至民国 90 年 12 月之每月月底的收盘股价记录并画出它的折线图

(资料来源：台湾新报

—B&T 国内 TOP3000 大企业数据库)，这是财务上描述资产最典

型的资料图。我们发现台积电的股价高低的起伏变化相当大，如果在不对的时间点进行

买卖，将会损失很多资金。而从图中可看出不可预测性

(unpredictability)似乎是财务模型

的重要特征。更何况我们关心的并不是股价的高低，而是报酬率的大小。若以表示第

i 月

的股价，则第

i 至 i+1 个月的报酬率可表成

  或                  (2.5)

两种形式

(注意在(2.5)中，前式为后

式在的一次泰勒展式

)。在表 2.2 中，我们计算出台积电股价的月报酬率，并将其描绘在

图

2.3 上。由图观之，这些资料恰似一些噪声(noise)，问题是我们要如何去建立统计模

型呢？

2

)

(

)

(

)

(

∆

∆

∆

=

k

S

S

n

S



,

2

,

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

+

+

+

+

=

k

k

S

S

ζ

ζ

ζ



2

0

)

(

0

S

)

(

∆

i

ζ ∆

σ ∆

−

σ

2

1

,

)

(

E

0

)

(

S

S

k

=

∆

∆

)

(

)

(

Var

2

)

(

∆

⋅

=

∆

∆

k

S

k

σ









∆

=

t

k

0

>

t

0

→

∆

,

)

(

0

≥

=

t

t

S

S

)

(

0

lim

∆

∆









∆

→

∆

=

t

t

S

S

t

t

W

S

S

σ

+

=

0

)

(

t

W

W

=

0

≥

t

t

W

W

W

t

t

=

=

=

2

0

E

,

0

E

,

0

i

S

i

i

i

i

R

S

S

S

=

−

+

1

i

i

i

R

S

S

=

+

1

ln

)

1

ln(

x

−

1

=

x