第

4 章 根轨迹法

1、内容提要

闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。对于高阶系统而言，其

特征根是很难直接求解出来的。因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方

程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。根轨迹法就是这样的一种图解方法。它根据基本法

则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系

统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。

利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，

利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在

s 平面的分布，才能在此基础上运

用第

3 章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。

从不同的角度，根轨迹有几种类型划分： 常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、根

轨迹、根轨迹等。而这些不同类型的根轨迹，

则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、

不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。所以，在绘制根轨迹时

首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。

依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分 子和分母多项式的

s 最高次项系

数变为

+1，其特征方程的形式有如下 4 种可能：

                                   （4-1）

这

4 种可能又归结为

                          （4-2）

根据式（

4-2）等号右端的

符号就可确定相应的根轨迹类型

——“+”对应根轨迹，“-”对应

根轨迹；式（

4-2）中的为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，和分别为等效的系统开

环零点和极点。

2、基本内容

闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。对于高阶系统而言，其特

征根是很难直接求解出来的。根轨迹法是一种图解方法。它不用求解高次代数方程也能把系统闭

环特征方程的根解出来。因而是分析系统闭环特性的一种有效方法。

根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征

方程式的根轨迹图。它根据基本绘制法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点

的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系

统的性能进行进一步的分析。

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