B
――拉格朗日单元的边界；
nt
――V 的单位法线矢量。
定义梯度的平均值：
（
4）
表示的平均值。
对于一个具有 N 条边的多边形，可以将上式写成 N 条边求和的形式，即：
（5）
式中：
――多边形第 i 条边的边长；
ni
――的单位外法线矢量；
fi
――f 在上的平均值。
最终通过变换可以得出节点位移：
（6）
按照迭代求解，便可求出各个时步所对应的各单元的应力以及各节点的变形。
2.2 采用动态测量方法的假设
在矿山工程中，采矿本身是一个复杂的力学过程，其中包含许多不确定因素的影响，
又由于数值模拟的定量结果一般仅作评价的应用。因此在模拟的过程中，不刻意寻求力学模
型和本构关系的精密，即不要求所建立的力学模型过于复杂，只要能反映出岩体的基本力
学特性及矿山开采的基本过程。在数值模拟过程中，为了使计算结果比较接近实际情况，对
岩体介质性质、计算模型、矿山地质条件、受力条件、采矿工艺及采矿方法等都作了必要的假
设。
（1）对矿岩性质的假设
假设矿岩为各向同性、均质且符合摩尔
―库仑弹塑性模型的介质。
（2）对计算模型的假设
对地下工程开挖来说，地下矿山开采是一个空间问题，应采用三维空间计算模型更为
合理。但一般来说，在同等条件下，二维数值模拟结果与三维数值模拟的计算结果比较接近。
因此，计算模型简化为二维平面模型。
（3）煤层结构的简化
为模拟方便，对巷道工程、每一煤层的开挖步数等不予考虑，模拟时简化为实体。
3 煤矿开采引发地表变形的动态测量方法及计算
在对煤矿的每次观测结束后，对观测成果进行检查，使其满足《煤矿测量规程》的有关
规定，然后进行各种改正数的计算和平差计算，确保观测成果的正确性。而后就可以计算观
测线各点间的移动和变形量，观测站各测点和各测点间的移动变形计算主要包括：各测点
的下沉和水平移动，相邻两测点间的倾斜和水平变形，相邻两线段的曲率变形，观测点的
下沉速度等。测点某时刻的下沉，由该时刻观测到测点高程与采前首次观测的测点高程之差
计算得；测点某时刻的水平移动，由该时刻观测到的测点坐标与采前首次观测到的测点坐
标变化经矢量分析分解后获得；相邻两测点的倾斜和水平变形，分别由该相邻两测点的下
沉之差和水平移动之差与两测点间的水平距离之比获得，在计算两测点间的水平变形时，
要考虑到测点的水平移动方向问题；相邻两线段的曲率变形，由该相邻两线段的倾斜之差
与两线段的平均水平距离之比获得；测点的下沉速度，由测点前、后两次观测的下沉值与两
次观测的间隔天数之比获得。
3.1 地表下沉动态曲线的建立
下沉动态曲线通常是按采动程度，用下沉动态分布系数表示的。当用公式表示时，对
于沿走向主断面，可写成：
（7）