Q
f
,
由位势理论
[
3
]
知
,
在整个二维平面上所产生的
势分布 ψ
f
( x , y)
应为
ψ
f
( x , y) =
μ
Q
f
2π
kh
arcch
1
2
1
+
x
X
f
2
+
y
0
- y
X
f
2
+
1
+
x
X
f
2
+
y
0
- y
X
f
2
-
2
x
X
f
2
1
/
2
+ c
(
1
)
图 1 中
,
当裂缝的条数
N
为奇数时
,
裂缝的中点坐标
分别为 0
,
±
d ,
±2
d ,
…
,
±
N
0
d ,
其中
N
0
= ( N -
1
) /
2
, d = L / N
为裂缝之间的距离
,
裂缝的产量
Q
f
i
,
以裂缝中点的势为裂缝的流动势
,
这些裂缝在
( x , y)
平面上相互干扰
,
则其势函数应用叠加原理
计算
,
则第
j
条裂缝的势可近似为ψ
f
j
(
0
, j d)
ψ
f
j
(
0
, j d) =
B
2π
k
h
h
∑
N
0
i = - N
0
Q
f
i
arcch
1
+
j d - i d
X
f
2
+ c
(
2
)
在
y
轴上距原点较远处取点ψ
e
(
0
, R
e
)
为
ψ
e
(
0
, R
e
) =
B
2π
k
h
h
∑
N
0
i = - N
0
Q
f
i
arcch
1
+
R
e
- i d
X
f
2
+ c
(
3
)
由
(
2
) - (
1
)
并整理得
p
e
- p
f
j
=
μ
B
2π
k
h
h
∑
N
0
i = - N
0
Q
f
i
arcch
1
+
R
e
- i d
X
f
2
-
arcch
1
+
j d - i d
X
f
2
(
4
)
当
N
为偶数时
N
0
= N -
1
,
则每条裂缝对应的坐标
为 ±
d ,
±3
d ,
±5
d ,
…
,
±
N
0
d , d = L /
2
N ,
在加
和过程中
i
必须从
- N
0
以 2 的速度递增 。
又因为
arcch
1
+ u
2
=
ln 1
+
1
+ u
2
(
5
)
所以
(
4
)
式可以简化
,
从而得到煤层气藏压裂
水平井煤层气从地层流向裂缝流量公式
p
e
- p
f
j
=
μ
B
2π
k
h
h
∑
N
0
i = - N
0
Q
f
i
G ( j , i)
(
6
)
其中
G ( j , i) =
ln
R
e
- i d
X
f
+
1
+
R
e
- i d
X
f
2
j d - i d
X
f
+
1
+
j d - i d
X
f
2
(
7
)
1
.
2
.
2 煤层气从裂缝流向井筒流量
裂缝内的煤层气由裂缝向井筒聚集
,
则有
[
4
]
p
f
j
- p
wf
=
Q
μ
B
2π
k
v
L
ln
h
h
f
+
Q
μ
B
2π
k
f
ωln
h
f
2
r
w
(
8
)
式中
,
第一项为裂缝部分穿透煤层的附加阻力
,
第二
项表示流线汇聚于井筒产生的附加阻力 。
考 虑 储 层 是 渗 透 率 各 向 异 性 的 储 层
,
β
=
k
h
/ k
v
为储层各向异性比值
,
垂向坐标变成β
z ,
则
水平井有效半径
r
’
w
为
r
′
w
=
1
2
(
1
+
β
) r
w
(
9
)
根据压力平方的定义和真实气体的状态方程
,
假设所有裂缝的井底压力都相同
,
并将煤储层裂缝
中气的产量换算为地面标准状况下煤层气的产量
,
则
(
6
)
式加
(
8
)
式得煤储层压裂水平井每条裂缝的
产量
Q
f
i
的公式
p
2
e
- p
2
wf
=
μ
p
sc
Z T
π
k
h
h T
sc
∑
N
0
i = - N
0
Q
f
i
G
i
+
Q
f
j
β
h
L
ln
h
h
f
+
k
h
h
k
f
ωln
h
f
2
r
w
(
10
)
对上述方程求和
,
从而得到煤层气储层压裂水
平井的产量公式
Q =
∑
N
0
i = - N
0
Q
f
i
(
11
)
2
敏感性因素分析
选取某一实际煤层气藏进行煤层气产能敏感性
因素分析
,
其储层 、
煤层气 、
裂缝和井的参数如表 1 。
煤层气储层中有一口水平井进行压裂
,
压裂
N
条垂
直裂缝
,
裂缝中的水完全被排出
,
每条裂缝的井底压
力相同
,
水平井只产煤层气
,
从煤基质中解吸并扩散
的煤层气体量等于裂缝流向井筒的煤层气体量 。