C． 如果在双人竞标中，投高标者获胜，但是两个竞标者都必须支付他们

的投标的价格.  假设双方对被拍卖物的价值在[0, M]上独立同分布, 分

布的密度函数是.  求解此博弈的对称 Bayesian-Nash 均衡.

附：独立价值一价拍卖的求解

首先看一个最简单的例子。双人竞标，每人的价值是在[0，100]上的均匀分布。

每个人的报价应当依赖于其对拍卖物的价值，因此他的策略是一个从[0，100]到
[0，100]

 

的函数。

报价策略 1：报实价。（但这是一个劣策略。）

报价策略 2：折扣报价：总是抱真实价格的一个固定折扣，譬如说 40% 。

报价策略 3

 

 

：非线性折扣报价： 譬如说， 。

什么是这个模型的 Bayesian-Nash 均衡报价策略呢？

假定竞标者 2 采用 50%的固定折扣的报价策略，我们来找出竞标者 1 的最优反应。

在竞标者 1 的价值为 v 时，如果他报价 b, 我们来计算他的期望收益。

当他赢时，他的收益是 v – b, 而他的报价 b 赢的概率是

    Prob(b 赢) 
= Prob(对手报价低于 b) 
= Prob(x| 0.5x < b) 
= Prob(x| x < 2b) 
= 0.02b

所以，竞标者 1 的期望收益为

E(b) = 0.02b(v– b) = 0.02vb – 0.02b

2

他的最优报价 b 应当使 E(b)

 

最大。 一阶条件 E’(b) = 0 给出

E’(b) = 0.02v – 0.04b,   or  b  = 0.5v.

)

(v

f

100

)

(

2

v

v

b

=