3
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13
频域分析
)
(
)
(
2
1
)
(
ˆ
Ω
∗
Ω
=
Ω
∴
P
X
X
a
a
π
∑
∞
−∞
=
Ω
−
Ω
=
n
s
a
n
X
T
)
(
1
)
(
Ω
∧
a
X
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14
频域分析
只要取样频率足够高，当满足以下条件时
Τ
=
Ω
<=
Ω
π
2
max
s
---------（奈奎斯特定理）
若
是一带限函数，即
)
(t
x
a
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
Τ
=
Ω
>=
Ω
Τ
=
Ω
<
Ω
Ω
=
Ω
π
π
2
,
0
2
),
(
)
(
s
s
a
a
X
X
即取样率
至少是信号最高频率
的
2倍。
则
的频谱不发生混迭，可以不失真的恢复
。
)
(
ˆ
Ω
a
X
)
(t
x
a
π
2
s
s
f
Ω
=
π
2
max
max
Ω
=
f
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15
重建原信号的必要条件
不满足此条件，就要发生频谱混叠现象。
“奈奎斯特抽样间隔”
是最大抽样间隔，称为
m
s
f
T
2
1
=
频率”
，称为“奈奎斯特抽样
是最低允许的抽样频率
m
s
f
f
2
=
取样定理
Ω
)
(
Ω
a
X
1
m
Ω
t
)
(t
x
a
m
Ω
0
Ω
0
Ω
−
Ω
)
(
)
(
2
1
)
(
ˆ
Ω
∗
Ω
=
Ω
P
X
X
a
a
π
)
(
)
(
)
(
ˆ
t
p
t
x
t
x
a
⋅
=
t
×
∗
p(t)
t
T
T
−
0
)
(
Ω
P
Ω
0
Ω
0
Ω
−
0
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17
欠取样
对于带限信号范围为B
1
<f<B
2
的带通信
号，此时，最小取样频率取决于信号的
带宽 B
2
－B
1
以及带宽在频谱中的位置,
取样频率必须至少是带宽的两倍，关键
是要保证没有频谱混叠。
这种对带限信号的取样并未遵循奈奎斯特条件，称为欠取样。
带通
B
1
B
2
例如：一个 GSM 蜂窝电话在900MHZ 频段上占 30KHz 带
宽，通过欠取样，只用比 60KHz 略高一点的取样频
率，而非1.8GHz，就可以恢复信号。
例：如图所示两个带限信号
和
的乘积被一周
期冲激序列
取样，其中
带限于
，
带
限于
，即：
)
(t
p
)
(
1
t
x
)
(
2
t
x
)
(
1
t
x
)
(
2
t
x
1
ω
2
ω
2
2
1
1
,
0
)
(
,
0
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
>
=
>
=
X
X
确定通过理想低通滤波器可从
恢复
的最大取
样间隔
T。
)
(t
w
)
(t
w
p