２００７．９

（下旬刊）

２００７．９

（下旬刊）

（上接第２１１页）

窗由于内外压差大易损坏等缺点，不适宜在水处理中大规模使用。
微波处理法由于人体会吸收微波，如何设计防止微波泄漏的微波反
应腔还需要进一步的研究。强电场电离放电方法实现了高浓度、大
产生量制取羟基溶液，但是它的工程化应用的研究还不够。联合处
理技术都是为了在充分发挥高级氧化技术的基础上进一步强化污

水处理的效果。

水处理中高级氧化技术的应用，首先技术上要可行；其次经济

合理；此外尽量做到工艺流程简单、安全，易于操作；氧化产物无毒
或微毒，易于回收处理；反应条件温和。研究者们应从・ＯＨ产生机
理出发，寻求・ＯＨ产生的最佳条件，以提高・ＯＨ产率。

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图（３）

Ｕ

２

Ａ

Ｂ

Ｃ

０

ａ

中粒子的基态能量不为零。这与经典能量
最低态取值不同，经典粒子能量的最低态必
然为零。

２．２势垒贯穿（一维有限宽势垒）

高度为

Ｕ

０

、宽度为

ａ的方形势能为：Ｕ（ｘ）

＝

Ｕ

０

０≤ｘ≤ａ

０

ｘ＜０，ｘ＞

ａ

如图（３）在Ｅ＜Ｕ０情况下，Ｂ区定态薛定谔方程写为

－ !

２

２ｍ

ｄ

２

（ｘ）

ｄｘ

２

＋Ｕ

０

（ｘ）＝ＥΨ（ｘ）

令：ｋ

２

＝２ｍ（Ｕ

０

－Ｅ）

２

定态薛定谔方程可改写为：ｄ

２

（ｘ）

ｄｘ

２

＝ｋ

２

（ｘ）

该方程的解为： Ψ（ｘ）＝Ｃｅ

－ｋｘ

（０≤ｘ≤ａ）

隧道贯穿后的几率密度： ω＝ Ψ（ｘ）

２

∞

ｅ

－２ｋｘ

表示微观粒子可以透射过势垒，但随ｘ增加迅速衰减。Ａ区中

微观粒子能量

Ｅ小于势垒势能高度Ｕ

０

时，在Ｃ区，仍然可以发现微

观粒子会以一定的几率出现，这种现象称为隧道效应。隧道效应是
量子力学中独有的现象，不可能在经典力学理论中出现。从经典物
理学观点看，粒子不可能穿透比其动能高的势垒。但是隧道效应作
为量子力学的结论已被实验所证实。于

１９８２年发明的扫描隧道显

微镜（ＳＴＭ）是电子隧道效应的重要应用之一。在表面物理、材料科
学和生命科学等诸多领域中，ＳＴＭ都能提供十分有价值的信息。

２．３坐标表象中的一维谐振子

在量子力学中，谐振子问题是研究许多周期性运动的出发点，

是一个重要的物理模型。诸如原子分子的振动、黑体辐射、晶格振
动以及量子场中的场量子化等都可以用这一物理模型来处理。取
自然平衡位置为坐标原点，并选原点的势能为零点，则一维谐振子

的势能可以表示为：Ｕ（ｘ）＝１

２

ｋｘ

２

令

０

＝

ｋ

ｍ

于是一维谐振子的哈密顿量可表为

Ｈ

＾

＝

Ｐ

２

ｘ

＾

２ｍ

＋１

２

ｍω

０

２

ｘ

２

相应的定态薛定谔方程为 #

２ｍ

２

%ｘ

２

＋（Ｅ－１

２

ｍω

０

２

）Ψ＝ＥΨ

严格的谐振子势是一个无限深势阱

，因此，粒子只存在束缚态，

即

（ｘ）→０（｜ｘ｜→∞）

为了简单，引进无量纲参数 ξ＝αｘ， α＝

ｍω

０

， λ＝

２Ｅ

’ω

０

于是方程

（１）变为ｄ

２

ｄξ

２

＋（λ－ ξ

２

）Ψ＝０

（２）

这是一个变系数的二阶常微分方程，要用级数解法。令方程

（２）的一般解为 Ψ＝ｅ

－１

２

(

２

ｕ（)）

得到ｄ

２

ｕ

ｄξ

２

－２* ｄｕ

ｄξ

＋（λ－１）ｕ＝０这是厄米方程

由于 +＝０是方程的常点，在 ,＝０的领域，将展开为泰勒级数，只

有当

－１＝２ｎ，ｎ＝０，１，２，ｋ时，厄米方程（１２）才有一个多项式解（厄米

多项式），只有这样的解，才能保证 Ψ 满足｜-｜→∞ 的边界条件。

求得线性谐振子的能级

Ｅ＝Ｅ

ｎ

＝（ｎ＋）１

２

.ω

０

，ｎ＝０，１，２，ｋ

由此得下面结论：

（１）线性谐振子能量是量子化的，（２）谐振子的能级是均匀

分布的，相邻两能级间隔△Ｅ＝Ｅ

ｎ＋１

－Ｅ

ｎ

＝ｈω，这与普朗克假设一致。

（３）谐振子的基态（ｎ＝０）能量为

Ｅ

０

＝１

２

/ω＝

１
２

ｈｖ

（３）

再来分析波函数，当谐振子能量取（３）式的值时，得到一个解是

厄米多项式

Ｈ

ｎ

（0），利用厄米多项式的正交性，得归一化的谐振子波

函数为： Ψ

ｎ

（ｘ）＝Ｎ

ｎ

ｅ

－１

２

ｘ

２

Ｈ

ｎ

（αｘ）

其中归一化常数

Ｎ

ｎ

＝

２

ｎ

ｎ！

定态薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对

于原子、分子、核、固体等一系列问题中，求解的结果都与实验符合
得很好，探讨它的应用具有重大的意义。

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理工科研

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