ω =

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) 

( )( )

s ss s ss s ss s ss

s s s s s s s s s s s s

L i L i L i L i
L i L i L i L i

             

α α β β β β α α

             

α α α α β β β β

         

ψ ψ σ ψ ψ σ

         

ψ ψ σ ψ ψ σ
− − − − −
− − + − −

     

� � � �

     

� � � �
（3）
where 

2

 

σ = 1− L

m 

L

s

L

r

i

s

 

α

,i

s

β

—— The stator current components

ψ

s

 

α

,

ψ

s

β

—— The stator flux components

L

s

, L

r

, L

m

—— The stator inductance, rotor inductance

and mutual inductance
It can be seen that, in the DTC system, NN-based flux observer can compute out an accurate stator 
flux value without ω, because the speed information is embedded in relative stator contents. Fig.2 
is   the  training   scheme   of   the   NN-based   stator   flux   observer.  Where  f,  e(k)   are   the   addition 
distortion and error,  respectively. It should be noted that a random  distortion plus on the time-
delayed ψ

s 

, so that the control range is widen and stability is strengthened.

Fig.3 is the structure of the BP-based flux observer.

Fig.2 Schematic diagram of NN-based flux observer

Fig.3 Structure of the BP-based flux observer

2.1.2 The modified BP algorithm
According to analysis above, the BP-based  supervised network is used to implement the  stator-
flux observer. The input/output pairs for  training are produced by the combined model, input 
samples: u

s

α

, u

s

β

, i

s

α

, i

s

β

, u

s

α

(k

−1), u

s

β

(k

−1), i

s

 

α

(k

−1) ,i

s

 

β

(k

−1) ψ

s

 

α

(k

−1) and ψ

s

 

β

(k

−1); output 

samples: ψ

s

α

and ψ

s

 

β

. It is well known that slower convergence and longer training times are the 

disadvantages of the  conventional BP algorithm compared with other  competing techniques. In 
addition,   in   the   conventional  BP  algorithm,   the   learning   rate   is   fixed.   This   paper  applies   a 
modification of the original BP algorithm which is a combination of weight update and learning 
rate update.  Corresponding to the input vector  X

p  

in the  training set, we consider the Eq. (4) 

measuring the error of the function approximation network.