第 1 章　绪论

1.1  课题背景

16 世纪中叶，欧洲科学革命的兴起，科学和技术有了长足的进步，

有关运动的研究已在自然科学领域中逐渐居主导的地位，这就影响数学
研究方法的提升：从常量观念为中心转移到以变量观念为中心，而实现
这一转变的关键人物正是笛卡尔（解析几何）、牛顿和莱布尼兹（微积
分）。函数概念在解析几何、微积分诞生的背景下，被引入数学的殿堂。约
在公元 1637 年，笛卡尔（R.Descartes，法，1596～1650）建立方程序和

“ ”

曲线的联系时，已经认识到：当 点 按一定的条件运动时，x 与 y 之间便
建立了某种关系，即 y 依赖 x 而变，可用方程式给出，但他并没有提炼
出一般的函数概念。现在公认最早的函数定义是由德国的莱布尼兹
（G.W.Leibniz，1646～1716

“

）给出的，他在一篇手稿里，首先采用 函

”

数 （拉丁文 functio

“

” “

）一词，并用函数表曲线上点的。 横坐标 或 纵坐

” “

”

“

”

“

”

标 或 切线长度 。或 垂线长度 等，即与曲线上的点相关的 几何量 。由
此可见函数概念引入的初期，人们对函数的认识是相当肤浅的，为了推
动数学的发展，函数概念一次又一次地修正，内涵逐渐扩展。瑞士数学家
尤拉（L.Euler，1707～1783

“

”

）在他写的 无穷小分析引论 书中，明确地

指出：变量的函数是由这个变量和一些常量通过任何方式形成的解析表
达式，解析表达式是指代数式和超越式。尤拉的定义，在 18 世纪被认为
是标准的函数概念。公元 1821 年，法国数学家柯西（Cauchy，1789～
1857

“

”

）在 分析教程 给出如下的定义：在某些变量间存在着一定的关系，

给定其中某一变量的值，其它变量的值亦可随之而确定时，则将最初的
变量称之为自变量，其它各变量则称为函数。柯西的定义使函数概念有了

“

”

进一步的扩展，但对函数概念的本质 对应 ，还不够强调。公元 1837 年
德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）引入了新的函数定义：对
于某区间上的每一个确定的 x 值，只要 y 有完全确定的值与之对应，不
论 x，y 所建立之对应方式如何，y 都叫做 x 的函数。（这是古典函数的定
义）依据这个定义，狄氏举了一个例子：对 0x1，当 x 为有理数时，对应
y＝1；当 x 为无理数时，对应 y＝0。这也是一个函数（就是著名的狄利克
雷函数）。

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