y
*
=
( 1 + D
0
→
( ·) ) y; b
*
=
( 1 - D
0
→
( ·) ) b
( 2)
每一个决策单位将沿着上述有效率路径实行利润最
大化,即:
max
x
,y,b
p
y
y
*
+ p
b
b
*
- w
T
x
s. t.
D
*
0
→
( x,y
*
,b
*
) = 1
( 3)
其中,w 为投入要素的价格向量。相应的拉格朗日函
数为:
max
x
,y,b,m
p
y
y
*
+ p
b
b
*
- w
T
x + m D
→
*
0
( x,y
*
,b
*
)
[
]
- 1
( 4)
其中,m 为拉格朗日乘子。基于好、坏产出所求得的
上述利润最大化问题的两个一阶条件为:
p
b
+ m·
D
→
*
0
( x,y
*
,b
*
)
b
*
·
( 1 - D
0
→
( ·) ) = 0
( 5)
p
y
+ m·
D
→
*
0
( x,y
*
,b
*
)
y
*
·
( 1 + D
0
→
( ·) ) = 0
( 6)
由( 5) 和( 6) 两式可以推导得到环境污染相对于煤炭
开采和洗选业工业总产值的相对影子价格计算公式如下:
p
b
p
y
=
D
→
*
0
( x,y
*
,b
*
) /( b
*
)
D
→
*
0
( x,y
*
,b
*
) /( b
*
)
·
( 1 - D
0
→
( ·) )
( 1 + D
0
→
( ·) )
( 7)
因此,对第 i 个决策单位而言,要计算影子价格,首先
要计算有效路径上的距离函数值D
→
*
0
( ·) ,其线性规划通
常设定为:
D
i*
0
→
( x
i
j
,y
i*
,b
i
; 1,- 1) = max
b
,l
b
s. t.
Yl≥( 1 + b) y
i*
; Bl≤( 1 - b) b
i*
Xl ≤x
i
; i
T
l≤1; b,l≥0
( 8)
如果用 t
i
( i)
和 t
i
( ii)
表示由( 8) 式所构造拉格朗日函数
中对应期望产出和非期望产出限制条件的拉格朗日乘子
的话,它们的比例就等于公 式 ( 7) 中 D
i*
0
→
( ·) /y
i*
和
D
i*
0
→
( ·) /b
i*
的比例。如同参数化方法一样,令 p
i
y
等于
1
元,则计算第 i 个决策单位绝对影子价格的计算公式为:
p
i
b
→
= p
i
y
·
D
i*
0
→
( ·) /b
i*
D
i*
0
→
( ·) /y
i*
·
1 - D
i
0
→
( ·)
1 + D
i
0
→
( ·)
=
t
i
( ii)
t
i
( i)
·
1 - D
i
0
→
( ·)
1 + D
i
0
→
( ·)
( 9)
结合前面的环境技术定义模型,我们也同样可以绘制
出使用产出方向性距离函数方法计算的影子价格模型,如
图 2 所示。
在图 2 的影子价格模型中,P( x) 代表最优生产边界,
g =
( 1,- 1) 代表( y,b) 的向量关系,其中 A 点是现有的生
产点,(y,b) 代表原最优生产点,环境污染物或非期望产
出———b 的影子价格等于 A 点切线的斜率。
图 2 影子价格模型
Fig. 2
Model of shadow price
3
影子价格估计实例
3. 1
数据来源与处理
本文的数据来自安徽省环境科学研究院 2009 年仅有
的一次对该省煤炭开采和洗选企业的全面调查,我们获得
了 38 家样本企业的具体数据。
对于这些样本数据,我们作了如下处理。首先令 i =
1
,2,3,…,38 分别代表本文所研究的 38 家煤炭开采和洗
选业样本企业,t表示对应的研究时间跨度,本文的 j 表示
本文将使用的三种投入向量 X,j’= 1,2,3 依次代表用电
量、劳动从业人数和固定资产净值平均余额,煤炭工业总
产值作为期望产出用向量 Y 表示,煤炭资源开发过程中所
产生的环境污染物作为非期望产出用向量 B 表示,b = 1,
2
,3 分别代表废水、废气和固体废物三种主要的环境污染
物。
3. 2
估计结果分析
表 1 是本文研究所使用的安徽煤炭开采和洗选企业
样本数据统计分析的结果。从表 2 中,我们可以看出,期
望产出: 工业总产值符号显示为正,这当然是因为煤炭开
采和洗选企业生产的主要目的就是为了追求产值最大化;
投入向量: 用电量、从业人数和固定资产净值平均余额都
显示负号,这表示这三种资源投入是生产对其的一种必然
消耗; 非期望产出: 废水、废气、固体废物的符号显示为负,
这是因为这三种环境污染物作为生产的附属品并不是生
产所期望的,是一种环境负效应,这更进一步表明我们的
估计结果与模型设计在符号上是总体一致的。
环境污染物的影子价格也可以被理解为是一种边际
减排成本,它反映的是减少 1 单位污染物的排放,所引起
的期望产值的损失量。从上表中我们可以看到,每 t 废水
的平均影子价格为 0. 021 6 万元,这表明减少 1 t 废水的排
放,将导致煤炭工业产值损失 0. 021 6 万元。每 t 废气和
·
3
7
·