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土
木 工 程 学 报
2010年
为
$y @ $x。将平面 A 中取得的微元的四个角点分别
以 a1, b1, a2 和 b2代表, 其纵向位移为 s
a1
, s
b1
, s
a2
和
s
b2
, 它们在曲面 B中的新位置为 a1c, b1c, a2c和 b2c
( 如图 3所示 ) 。
图 3
微 元的扭曲变形分析
F ig. 3
M icroe lem en t ana lysis of d eform ation
compon en ts of a p lane
对于任意情况, 不论这种纵向变形的大小和方向
( 沉降或隆起 ), 所研究的微元的变形都可以分为三个
部分: 均匀沉降 (或隆起 ), 刚性旋转以及扭曲变形, 如
图 3所示。为了分析简便起见, 以下仅考虑沉降而不
考虑隆起, 但分析过程和结果对于 隆起也完全适 用。
微元各角点从其初始位置 (即平面 A 中的位置 )变化
到图中用较粗虚线表示的位置, 仅有均匀的沉降和刚
性的旋转产生, 而从这一位 置到其终了位置 (即图中
下面一个用粗实线表示的位置 ), 则全部为扭曲变形。
这种产生于微元平面外的扭 曲变形的大小 可以
用微元两个对边 (例如对边 -a1-a2c和 - b1-b2c) 旋转
角度的差, 即 $H来表示。而这种变形的 / 严重程度 0
显然还与这两条对边之间的 距离
$x 有关。因此, 平
面的扭曲变形可以定义为
/所考虑平面的两个对边旋
转角度之差随其距离的变化率
0。具体考虑图 3中所
示的问题, 微元的扭曲变形可以计算如下。
首先, 计算 x 方向的扭曲变形。由于边 a1-a2 和
b1-b2的旋转角度 H一般都很小 ( 对于一个实际问题,
一般 a rctanH< 0. 01rad ), 因此可以认为 H约等于 tanH
, 因此:
H
a
µ tanH
a
=
s
a2
- s
a1
$y
( 1a)
H
b
µ tanH
b
=
s
b2
- s
b1
$y
( 1b)
式中: H
a
, H
b
分别是边 a1-a2 和边 b1-b2 由其原始位
置旋转的角度。
如果
H
a
= H
b
, 则说明微元的一边产生均匀竖向位
移, 则变形后各点仍 保持在一个平面内, 意味着这个
微元发生的是刚性的旋转。否则, 当 H
a
X H
b
, 即在两
条边之间存在一个旋转角的差
$H,就说明产生了扭曲
变形。则在变形后的面上, 扭曲变形的大小可以采用
这两个角度之差随着两个对 边之间距离的变化率来
表示:
T
w
=
$H
$x =
H
b
- H
a
$x
( 2a)
或者:
T
w
=
$H
$x
=
( s
b2
- s
b1
) - ( s
a2
- s
a1
)
$x # $y
( 2b)
如果应用以上分析过程考虑 y 方向的扭曲变形,
即首先计算微元另外两条对边 a1-b1 和 a2-b2的旋转
角度的差, 将会得到相同的结果。
以下考虑图 2中 所示的整个平面 A 的扭曲变形
问题, 应用曲面的表达式 s(x, y ) 和偏微分的概念。类
似于上面对微元的分析, 在基础平面内任意一点沿 x
或 y 方向的旋转角度可以写为:
H
x
( x, y ) =
5s( x, y )
5x
( 3a)
H
y
( x, y ) =
5s( x, y )
5y
( 3b)
然后沿另一个方向 ( y 或 x )进行微分, 则可以得
到
H
x
或
H
y
在这个方向上的变化率, 其值即代表扭曲变
形的大小:
T
w
( x, y ) =
5
2
s( x, y )
5x 5y
( 4)
由于 对 连 续 函 数, 微 分 顺 序 不 影 响 结 果, 即
5
2
f
5x 5y =
5
2
f
5y 5x ,
说明对某一点来说, 沿其 x 和 y 方向的
扭曲变形的大小相同。
扭曲变形 T
w
的单位为弧度每单位长度 ( rad /m ),
这说明它度量的是两条直线 /曲线之间角度的变化率。
从上面的分析和式 ( 4) 可以 看到, 为了获得基础
底板连续的扭曲变形分布, 问题的关键和难点都在于
确定建筑物沉降的连续分布 s( x, y ) 。在工程实践中,
一般沿建筑物两侧外墙观测其竖向变形, 基于这些实
测结果, 一般可以采 用数学拟合的方法, 同时结合实
际情况引 入一些假 定, 可 以建立沉 降曲面的 表达式
s( x, y ) 。文献 [ 3]中对建筑物外墙沉降曲线的预测提
出了一个 BG I刚度 修正法, 可以 得到 沿建筑 物边的
/建筑物的沉降槽曲线 0的数学表达式。或者结合数
值分析方法也可以得到 s( x, y ) 。事实上, 基于预测或
实测得到的离散点, 采用式 ( 2)也可以分析其扭曲变