关于保险风险理论的研究

　

  【摘要】 风险理论是保险精算学的一个重要分支，在保险理论与实践中具有重要的作用。

文中简述了风险理论中几种主要的风险模型，并重点介绍了破产理论研究的主要问题。

 

　　【关键词】

 风险理论 风险模型 破产概率 

　　一、短期个别风险模型

 

　　

1、函数分析 

　　矩母函数对于一个非负随机变量

X，其分布函数为 F（x），其矩母函数定义为： 

　　

Mx（t）=E（etx）=edF（x）（1） 

　　矩母函数可以完全刻画随机变量

X 的分布特征：如果两个随机变量具有相矩母函数，

则它们的分布函数也相同。由于这种一一对应的关系，矩母函数便成为研究随机变量的一个
得心应手的工具，以矩母函数表达的结论均可以转换成关于分布函数的关系。矩母函数有一
个很好的性质：独立和的矩母函数等于各个变量的矩母函数，即设：

S=X1+X2+

…+Xn，其

中

X1，X2，

…，Xn 相互独立，则有： 

　　这一性质在研究总理赔量的分布时具有重要的意义。矩母函数的优点在于求随机变量的
分布函数，这样容易求随机和的分布函数。

 

　　若有

Lx（t）=E[e-tx]=edF（x），对任意的 t0 成立，则称 Lx（t）为 X 的 Laplace 变换。

显然有

Lx（t）=Mx（-t）。 

　　利用全概率公式，可以得到

2 个条件期望和条件方差的公式： 

　　公式（

2）称为期望的累积法则，公式（3）则表明，总的方差可以分解成方差的期望

与条件期望的方差之和。

 

　　

2、短期个别风险模型简介 

　　承保人收取投保人的保费后，将面临赔偿损失的风险。设在一定时间内承保人所面临的
总的赔偿为

S，S 为一个随机变量，设该时期内共有 n 个投保个体，假定第 i 张保单可能发

生的理赔（或理解为保险人

i 的赔付）为 Xi，则： 

　　也就是说个体损失的和构成总损失。通常假设

X1,X2,

…,Xn 相互独立，即风险损失彼此

无影响。而且由于我们假设是在某一段时间内，这样考虑的时间变化的范围较小，可以忽略
利息的影响。以上公式称为短期个别风险模型。

 

　　

3、求 S 分布的几种方法 

　　（

1）卷积方法。令 F（x）=P（S?燮 x）表示 Xi 的分布函数（i=1，2，

…n），F（k）

是

X1+X2+

…+Xk 的分布函数，FS 是 S 的分布函数，则有下述递推公式： 

　　式中

FX?鄢 FY 是分布 FX 与 FY 的卷积运算，它是 W=X+Y 的分布函数，在 X 和 Y 独

立的条件下：

 

　　

Fw（w）=F（w-y）f（y）连续分布 F（w-y）P{Y-y}离散分布（4） 

　　（

2）矩母函数法。设 Ms 与 Mi（t）分别为 S 与 Xi 的矩母函数，即 Ms（t）=E（ets）

及若将

t 换成-t，则 Ms（-t）是 Laplace 变换，由矩母函数的连续性及唯一性，便可求得 S

的概率分布。

 

　　二、短期聚合风险模型

 

　　

1、短期聚合风险模型简介 

　　给定时间内保单的总理赔量为

S，则有： 

　　

S=X1+X2+

…+Xn=X（5） 

　　同样，

Xi 来表示对某类保单的第 i 次理赔，N 表示在给定时间内保单发生理赔的次数。

为了使以上的理论具有可操作性，通常对其中的随机变量做以下的假设：假设一：随机变
量

X1，X2，

…，Xn 是相互独立的。假设二：X1，X2，…，Xn 是具有相同分布的随机变量，