式中，D 即为分形维数.

多重分形是在简单分形基础上发展的分形理论，自 1980 年即已成为不规则物体形态分

析的基本工具(Ficker，2004).多重分形谱由两种关系组成，一种是由一系列概率 Pi，ε所

组成的子集与测度之间的幂函数关系：Pi，ε∝εα，α称为奇异指数，其反映的是分形图

像中概率集合随测度的变化关系，即反映了分形对象的奇异程度;另一种是一系列测度下的

盒子数 N(ε)与测度之间的幂函数关系：N(ε)∝εf(α).此处 f(α)即为多重分形谱，显然

它表示的是同一α值子集的分形维数.

多重分形谱的计算处理过程，首先需定义配分函数，此函数是对概率的加权求和，即：

式中，加权系数 q> >1，则配分函数中大概率子集占主导，q< <-1，则配分函数中小概

率子集占主导.通过加权，可将一种分形拓展为多种奇异程度的分形，从而可将分形集的内

部结构完整呈现出来(孙霞等，2003).

对于二维图像的多重分析，概率 Pi，ε为盒子中研究目标所占的像素数量与图像中研

究目标所占的总像素数量比：

配分函数与尺度ε存在幂函数关系 Iq(ε)= ετ(q)，两边取对数，则可得到

此处τ(q)称为质量指数，其反映的是 Iq(ε)与 lnε的线性关系，这种关系指定分形的

无标度性.

广义分形维数 Dq 随 q 值的不同而具有不同的意义，其定义式如下：