2
数学模型
x(t)
t
t
)
(
)
(
)
(
ˆ
t
p
t
x
t
x
a
⋅
=
p(t)
t
相乘
p(t)
)
(
)
(
)
(
ˆ
t
p
t
x
t
x
a
a
⋅
=
)
(t
x
a
)
( f
X
a
)}
(
{
*
)
(
)
(
ˆ
t
p
F
f
X
f
X
a
a
=
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8
时域分析
∑
∞
−∞
=
−
=
=
n
nT
t
T
t
comb
T
t
p
)
(
)
(
1
)
(
δ
取样函数定义为
:
------ T ：取样间隔
∑
∑
∞
∞
=
∞
∞
=
−
=
−
=
=
n
a
n
a
a
a
nT
t
nT
x
nT
t
t
x
t
p
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
δ
δ
则：
可以看到，
是无穷多个等间隔的δ函数的加权集合，
加权值是
在
nT处的函数值（取样值）。
)
(
ˆ t
x
a
)
(t
x
a
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9
频域分析
)
(
)
(
)
(
ˆ
t
p
t
x
t
x
a
a
⋅
=
因此
[
]
)
(
)
(
2
1
)
(
ˆ
Ω
∗
Ω
=
Ω
P
Xa
X
a
π
则映射到频域为：
时域相乘
频域卷积
映射
因
p(t)是周期为T的函数，可以展开成级数和的形式：
∑
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
Ω
=
−
=
n
n
t
jn
m
s
e
a
nT
t
t
p
)
(
)
(
δ
其中
T
s
π
2
=
Ω
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10
频域分析
而
( )
∫ ∑
∫
−
Ω
−
∞
−∞
=
−
Ω
−
−
=
=
2
/
2
/
2
/
2
/
]
)
(
[
1
1
T
T
jmt
n
T
T
jmt
m
dt
e
nT
t
T
dt
e
t
p
T
a
s
s
δ
在
的积分区间内，只有一个冲激脉冲
，其
它冲激脉冲
在
时都在积分区间之外，
因此：
2
/
T
t
≤
( )
t
δ
(
)
nT
t
−
δ
0
≠
n
T
e
T
dt
e
t
T
a
s
jm
s
jmt
T
T
m
1
1
)
(
1
0
2
/
2
/
=
=
=
⋅
Ω
−
Ω
−
∫
−
δ
∑
∞
−∞
=
Ω
=
∴
n
s
jnt
e
T
t
p
1
)
(
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11
频域分析
)
(
2
1
)
(
s
t
j
n
s
s
jnt
e
e
T
t
p
Ω
−
Ω
→
=
Ω
∞
−∞
=
∑
Ω
πδ
Q
其中
T
s
π
2
=
Ω
)
(
2
)
(
∑
∞
−∞
=
Ω
−
Ω
=
Ω
n
s
n
T
P
δ
π
∑
∞
−∞
=
−
=
m
T
m
f
T
f
P
)
/
(
1
)
(
δ
频域分析
离散信号的频谱和原始信号的频谱相差常数因子
1/T，
是原始信号频谱的周期延拓。
)
(
)
(
2
1
)
(
ˆ
Ω
∗
Ω
=
Ω
∴
P
X
X
a
a
π
∑
∞
−∞
=
Ω
−
Ω
=
n
s
a
n
X
T
)
(
1
)
(
2
)
(
∑
∞
−∞
=
Ω
−
Ω
=
Ω
n
s
n
T
P
δ
π