控 制 与 决 策
第
24 卷
以定子电流和反电动势作为状态变量时
, 理想
表贴式永磁同步电机可表示为
[ 1]
Û
x ( t) =
Ax ( t) +
Bu( t) ,
y( t) = Cx ( t) .
( 1)
式中
: x( t) = [ i
A
, i
B
, e
A
, e
B
]
T
为
A, B轴的定子电流和
反电动势
; e
A
= - K
e
X
r
sin H
r
; e
B
= - K
e
X
r
cos H
r
; K
e
为
反电动势常数
; u( t) = [ u
A
, u
B
]
T
为定子
A, B轴电压;
R
s
, L
s
分 别 为 定 子 电 阻 和 电 感
. 系 统 矩 阵
A =
A B
0
D
,
B = [- B 0]
T
, C = [ I 0] , 二维矩阵 A
= - R
s
I / L
s
, B = I/ L
s
, D = X
r
J , I =
1 0
0 1
, J =
0 - 1
1
0
.
在获取测量的定子电压和电流分量后
, 依据上
述模型设计基于滑模变结构的观测器来估计转子实
际转速和位置
, 并利用变结构控制器实现对电机参
数摄动和外部扰动不敏感的无传感器鲁棒控制
.
2. 2 观测器设计
由式
( 1) 中的状态和输出方程, 构造滑模观测
方程
Û
x ( t) =
A
^
x^ ( t) +
Bu( t) - K sgn( Cx^ - y) . ( 2)
式中
: x^( t) = [^i
A
, ^i
B
, ^e
A
, ^e
B
]
T
为
A, B轴的定子电流和
反 电 动 势 观 测 值
; K = [ K
1
, - h
1
K
1
]
T
; K
1
=
k
1
I / L
s
; 矩阵
A
^
=
A B
0
D
^
; D^ =
0 - ^X
r
^X
r
0
; h
1
和
k
1
为正的常数
, 决定了观测器的开关增益; sgn( #)
为符号函数
.
用观测方程
( 2) 减 去 PMSM 的状 态方程( 1) ,
可得观测误差的动态方程为
i
#
s
= A
i
s
+ B
e - K
1
sgn(
i
s
) ,
( 3)
e
#
=
D
e + h
1
K sgn(
e) ,
( 4)
式中上标
/ ~ 0 为变量的观测值与实际值之差. 给出
建立在定子电流误差上的滑动超平面
S
1
=
i
s
= ^i
s
-
i
s
. 定义 Lyapunov 函数 V
1
且其导数 Û
V
1
满足下列条
件
:
Û
V
1
= S
T
1
Û
S
1
= [
i
A
i
B
] # [
i
#
A
i
#
B
]
T
< 0.
( 5)
即当
i
A
i
#
A
< 0,
i
B
i
#
B
< 0 时, 滑模观测器进入滑模状
态
, 由此可推得
i
A
i
#
A
=
i
A
[
-
R
s
L
s
i
A
+ 1
L
s
e
A
-
k
1
L
s
sgn(
i
A
)
]
=
1
L
s
i
A
(
e
A
- k
1
) -
R
s
L
s
i
2
A
,
i
A
\ 0;
1
L
s
i
A
(
e
A
+ k
1
) -
R
s
L
s
i
2
A
,
i
A
< 0.
( 6)
i
B
i
#
B
=
i
B
[
-
R
s
L
s
i
B
+
1
L
s
e
B
-
k
1
L
s
sgn(
i
B
)
]
=
1
L
s
i
B
(
e
B
- k
1
) -
R
s
L
s
i
2
B
,
i
B
\ 0;
1
L
s
i
B
(
e
B
+ k
1
) -
R
s
L
s
i
2
B
,
i
B
< 0.
( 7)
满足式
( 6) 和( 7) 中的 k
1
取值范围为
k
1
> max( |
e
A
| , |
e
B
| ) .
( 8)
为满足上述条件, 开关增益 k
1
必须足够大
. 但
k
1
过大
, 会增加抖振噪声, 导致不必要的估计误差,
故选用如下自适应律
:
k
1
= w
e
2
A
+
e
2
B
,
( 9)
式中
w 为正的比例因子. 由式( 9) 确定的 k
1
满足不
等式
( 8) , 此时系统进入滑模状态, 有 S
1
= Û
S
1
= 0.
进一 步
, 求 得 等 效 的 反 电 动 势 误 差 为 B
e =
K
1
sgn(
i
s
) , 这时可将反电动势误差方程转化为
e
#
A
= - ^X
r
e
B
+ X
r
e
B
- h
2
e
A
,
( 10)
e
#
B
= ^X
r
e
A
- X
r
e
A
- h
2
e
B
,
( 11)
式中
h
2
为正的常数
. 而转速误差方程为
X
#
=
e
A
^e
B
-
e
B
^e
A
.
( 12)
经低通滤波器将观测变量中的高次谐波滤除
后
, 得到反电动势为
^e
#
A
= - ^X
r
^e
B
- h
2
e
A
,
( 13)
^e
#
B
= ^X
r
^e
A
- h
2
e
B
.
( 14)
式( 13) 和( 14) 即构成了反电动势观测值的自
适应律
. 同样, 若忽略采样周期内转速的变动, 可推
得转速估计方程为
^X
#
r
=
e
A
^e
B
-
e
B
^e
A
.
( 15)
式( 15) 即为转速估计的自适应律. 通过一个 PI
积分环节
, 可计算出估计转速, 对转速进行积分即可
得到转子位置
H
r
, 这里使用延迟的一阶积分环节代
替纯积分环节求取转子位置
.
为证明 反 电 动 势 观 测 方 程 的 稳 定 性
, 选 取
Lyapunov 函数
V
2
= 0. 5(
e
2
A
+
e
2
B
+
X
2
r
) .
( 16)
则其导数为
Û
V
2
=
e
A
e
#
A
+
e
B
e
#
B
+
X
r
X
#
r
=
[
e
B
^e
A
X
r
-
e
A
^e
B
X
r
+ X
r
( e
B
e
A
- e
A
e
B
) ] =
- h
2
(
e
2
A
+
e
2
B
) [ 0.
( 17)
因 Û
V
2
满足负定的条件
, 故反电动势和转速估计
算法是稳定的
. 从式( 17) 还可看出, 转速的调整信
号取自反电动势误差信息
, 当观测反电动势值与实
际值趋于相同时
, 转速的观测值也会很快地逼近实
际值
, 滑模观测器能够自适应地工作.
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