意义下满足自相似性，即对任意

a＜0，X(t)

∶=a-HX(at)，H 为自相似指数，D=2-H，（D 为

分形维）

, 为依概率分布相等。对 X(t)有 

　　

1.均值自相似性：E(X(t))=a-HE(X(St));（1） 

　　

2.自相关函数自相似性： 

　　

Rx(t1,t2)=E(X(t1)X(t2))=a-2HE(X(at1)X(at2))=a-2HRx(at1,at2)，若是平稳的，则 Rx(t1-

t2)=a-2HRx(at1-at2)；（2） 
　　

3.功率谱自相似性:且。（为 X(t)的方差） （3） 

　　若自相似过程的功率谱具有特点

:,=2H+1,称为分维谱特性或 1/f 谱。一般来说，1

　　对分形噪声进行小波分解，其小波系数在尺度

j 时的方差有如下特征： 

　　

Rf2=var(dnj)=R2Vφ（)2i（4） 

　　

var(dnj)为小波系数在尺度 j 的方差，R2 为噪声方差，Vφ（)是依赖于 φ（t),的常数，对

上式两边同时取对数得

1og2(R2f)=1og2[R2Vφ（y)]+j (5） 

　　令

Yj=1og2R2f，β＝1og2[R2Vφ（)] 

　　参数可由以下线性回归估计

:Yj=β+、i,j=1,2,…,m 

　　应用最小二乘法估计得

 

　　小波系数在尺度

j 的方差有无偏估计： 

　　则（

6） 

　　三、应用及结论

 

　　十多年来，我国股票市场已经取得了长足的发展，但由于经济环境的复杂性，以及我
国经济体制在许多方面不断发生变化，许多难以度量的结构性因素和其它难以预料的因素
都对股市产生影响，直接表现为股指似乎无规律的波动。下面应用小波理论对上证股指、深
证股指数据进行分析。

 

　　选取上证

180 指数与深圳 100 指数 20004 年 1 月 3 日至 2006 年 12 月 26 日的原始数据

作为研究对象。利用

Matlab 中的小波工具箱，采用 Daubechies D6 小波基对原始数据直接进

行

6 层正交小波变换可以得到一系列的小波系数，由(6)我们可以得到下列结果：上证指数

的分形维是

1.141，深证指数的分形维是 1.109。 

　　另外，还可以根据赫斯特提出的另一统计量进行稳定性检验或周期长度的估计。对于独
立的随机过程系统，统计量

Vn 关于 1og(n)是平坦的。而对于具有状态持续性的过程来说，

 

Vn 关于 1og(n)是向上倾斜的。当 Vn 图形形状发生改变时，就发生突变，短期记忆消失。我
们发现我国股票价格持久性周期大约是

20 周，即股票现在的价格会对以后 20 周左右时间

内的价格产生影响，而

20 周以后的股票价格与现在的价格是相互独立的。 

　　

 

　　参考文献：

 

　　

[1]王 哲 王春峰 顾培亮:小波分析在股市数据分析中的应用.系统工程学报,1999:14（3）

 

　　

[2]徐绪松 陈彦斌:深沪股市分形维实证研究.数量经济技术经济研究,2000：11 

　　

[3]孙仲明:上证指数的分形结构分析.经济理论研究 

　 　

[4] 侯 建 荣   宋 国 乡 : 小 波 分 析 在 Hurst 指 数 估 值 中 的 应 用 . 西 安 电 子 科 技 大 学 学

报

,222:29（1） 

　　

[5]樊 智 张世英:金融市场的效率与分形市场理论.系统工程理论与实践,2002:3