混合后一起流到井筒的根端。根据流体力学理论, 在
此流动过程中, 由于壁面摩擦和流体汇流的影响, 存
在一定的压力损失。取井筒上第 j 条裂缝和第 j + 1
条裂缝之间的一小段进行研究, 如图 1 所示。第 j 条
裂缝左端的入口压力为p
1j
, 出口端的压力为 p
2j
, 入
口速度和出口速度分别为 v
1j
和 v
2j
。
图 1
两相邻裂缝处的压力分布
气体从第 j 条裂缝左端流到第j + 1 条裂缝左端
的过程中, 考虑井筒内压降, 由动量定理得
( p
1j
- p
1( j+ 1)
) A - 2 S
w
Pr
w
$L
j
+ p
fj
A
fj
= m
1( j+ 1)
v
1( j+ 1)
- m
1j
v
1j
.
( 2)
其中
m = QA v .
式中, m 为质量流量; Q 为气体的密度; A 为井筒横
截面积; S
w
为井筒壁面剪切应力。
因为裂缝内的气体在井筒周围作平面 径向流
动, 所以有
p
fj
A
fj
= 0.
对式( 2) 整理得
p
1j
- p
1( j+ 1)
= $p
w j
+ Q
1( j+ 1)
v
2
1( j+ 1)
- Q
1j
v
2
1j
. ( 3)
其中
$p
w j
= S
w
PD $L
j
/ A = 2 S
w
$L
j
/ r
w
.
( 4)
式中, $p
w j
为由壁面剪切应力造成的摩擦压力降。
取
S
w
=
f Qv
2
8 ,
则式( 4) 可写为
$p
w j
= f
j
Q
j
v
2
j
4 r
w
$L
j
.
( 5)
式中, f
j
为第j 段水平井筒壁面摩擦系数, 其大小与
管壁粗糙度和流动状态有关。
式( 3) 右边后两项可认为是由动量变化造成的
加速压力降, 记为
$p
accj
= Q
1( j+ 1)
v
2
1( j+ 1)
- Q
1j
v
2
1j
.
( 6)
由于裂缝处之外的其他井筒部分没有气体的流入,
此压力降只在裂缝处产生, 所以上式又可写为
$p
accj
= p
1j
- p
2j
= Q
2j
v
2
2j
- Q
1j
v
2
1j
.
( 7)
由以上分析可知, 井筒内的压降可分为两部分: 摩擦
压力降和加速压力降
将式( 5) 写为微分形式
dp
dl
= - f
Qv
2
4r
w
.
( 8)
式中的负号表示压力随 l 的增长逐渐下降。
气体的密度可用下式计算:
Q=
M
air
C
g
p
RTZ
.
( 9)
式中, C
g
为天然气的相对密度; M
air
为干燥空气的
视摩尔质量, kg/ mol。利用气体的状态方程可得到速
度 v 的计算式
v =
p
sc
q
sc
T Z
p Pr
2
w
T
sc
.
( 10)
所以式( 8) 又可写为
dp
dl
= - f
M
air
C
g
R
p
2
sc
q
2
sc
T Z
4P
2
p r
5
w
T
2
sc
.
( 11)
对式( 11) 在第 j 条裂缝右端到第j + 1 条裂缝左
端的井筒内积分, 可得
p
2
2j
- p
2
1( j+ 1)
= f
j
M
air
C
g
R
p
2
sc
q
2
scj
T Z
2P
2
r
5
w
T
2
sc
$L
j
,
j = 1, 2, ,, N - 1.
( 12)
当 N 为奇数时, $L
j
=
d , j X N ;
d / 2, j = N ;
当 N 为偶数时, $L
j
=
2d , j X N ;
d , j = N .
将
Q和 v 的计算式代入式( 7) 得
p
1j
- p
2j
=
M
air
C
g
p
2
sc
T Z
R P
2
r
4
w
T
2
sc
q
2
scj
p
2j
-
q
2
sc( j- 1)
p
1j
,
j = 2, 3, ,, N - 1.
( 13)
在末端裂缝处流体的流动可看作是在弯曲的管
子中的流动, 不会因质量的增加而产生加速压力降,
所以, j = 1 时有
p
1j
- p
2j
= 0,
( 14)
即
p
1j
= p
2j
.
( 15)
第 j 段井筒壁面的摩擦系数f
j
可由下式计算得
到:
f
j
=
64
Re
j
, Re
j
[ 2000;
1
f
j
= 1. 14- 2ln
e
2r
w
+
21. 25
Re
0. 9
j
, Re
j
\ 4 000.
( 16)
由 Re =
2Qvr
w
L
可得
Re
j
=
2M
air
C
g
p
sc
q
scj
Pr RT L .
能