即

Xi 中的风险都为同质风险，其分布函数为 P（x）。与个体风险模型不同之处在于，理赔

次数

n=N 是随机变量。这正是

“聚合”的意义之所在。 

　　

2、建立理赔额 S 的数字特征 

　　首先确定理赔总额

S 的数字特征的计算公式。 

　　

X 的数学期望：uX=E{X} 

　　

X 的方差：?滓=Var{X} 

　　

X 的矩母函数：MX（t）=E{etX} 

　　再设

MN（t）与 MS（t）分别为 N 与 S 的矩母函数，应用条件期望嵌套公式及全方差

公式，我们有：

 

　　这样便建立了

S 的数字特征。 

　　这表明：理赔总额

S 的期望值为理赔次数 N 与每次理赔次数 N 期望值之乘积；理赔总

额

S 的变异（即方差）由两部分构成。一部分来自于个体理赔量的变异，另一部分来自于理

赔次数的变异；理赔总额

S 的矩母函数是理赔次数 N 的矩母函数在关于个体理赔量 X1 的

半不变量

lnMX（t）处的函数值。 

　　利用全概率公式，可得

S 的分布函数为： 

　　

F（x）=P（x）Pro（N=n）（9） 

　　其中

P（x）=P?鄢 P?鄢

…P（x）=Pro（X1+X2+…+Xn=x）理赔次数 N 取不同的分布，

个别理赔量取不同的分布

P（x），就得到了总理赔量 S 的不同复合分布。如果 N 为 Poisson

分布，则

S 的相应分布便成为复合 Poisson 分布。 

　　

3、复合 Poisson 分布 

　　当理赔次数服从参数为

?姿的 Poisson 分布，个别理赔量的分布函数为 P（x）时，称 S

的分布为参数

?姿、分布函数 P（x）确定的复合 Poisson 分布，它的数字特征如下： 

　　复合

Poisson 分布有一个很好的性质，如定理 1 所述。 

　　定理

1：如果 S1，Ｓ 2，

…，Ｓ m 是相互独立的随机变量，Si 是参数为?姿 i 与分布函

数

Fi（x）（i=1，2，3，，

…，m）的复合 Poisson 分布，则 S=S1+Ｓ 2+…+Ｓ m 是参数?

姿

=?姿与分布函数 F（x）=F（x）的复合 Poisson 分布。 

　　这个定理在建立保险模型方面有两个应用：若有

m 个险种，每个险种的理赔总量均是

复合

Poisson 变量并相互独立，则总理赔量也服从复合 Poisson 分布；考虑 m 年期的单个险

种，假设各年内的理赔总量均是复合

Poisson 变量，但各年理赔总量的分布可能不同，则定

理表明：

m 年期的总理赔量也服从复合 Poisson 分布。 

　　三、长期聚合风险模型

 

　　

1、长期聚合风险模型简介 

　　本模型是针对一个较长时期内建立保险人盈余量变化模型。此处的盈余是指某个初始启
动基金加上收取保费超过理赔的那一部分，而非财务意义上的盈余。为了数学处理方便，通
常不考虑利息和其他除了保费和理赔之外的影响盈余的因素，例如附加费和保单持有人的
分红等等。对

t0，记 U（t）为保险人在时刻 t 的盈余。假设保费以常数 c>0，c=（1+?

兹）

u，连续收取，S（t）为直到时刻 t 的总理赔量。如果 U（0）=u 为时刻 0 时初始盈余，

则有：

 

　　

U（t）=u+ct-S（t），t0 （10） 

　　因此，通常的盈余过程

{U（t），t0}如图 1 所示： 

　　使用

“过程”这一词表明，我们关心的是随时间 t，（t0）变化的随机变化族以及它们分

布之间的关系。

 

　　如果

S（t）X，式中理赔次数过程 N（t）为齐次 Poisson 过程时，模型（10）称为古典

风险模型。