第三届中国 CAE 工程分析技术年会论文集
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{ }
iX
iY
jX
jY
F
F
F
F
F
=
是整体坐标下施加在节点 i 和 j 上的力的分量,且
{ }
ix
iy
jx
jy
f
f
f
f
f
=
代表局部坐标下施加在节点 i 和 j 上的力的分量。
以上步骤推导出了各个属性的局部坐标和整体坐标间的关系。然而，需要明确的是，局
部坐标下 y 方向位移和力为零。因为在假设的二力条件下，杆只能沿着轴向（局部坐标下 x
方向）伸长或缩短。开始我们不将这些值设置为零以便保持一般的矩阵描述，这将更加容易
推导单元刚度矩阵。当将位移的 y 方向及力设置为零时，这一过程将变得非常清楚。局部内
力和位移通过刚度矩阵有以下关系：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ix
ix
iy
iy
jx
jx
jy
jy
f
u
k
k
f
u
f
u
k
k
f
u
−
=
−
(2.5)
这里的 k 为服从虎克定律的刚度系数，若写成矩阵表式，有：
{ }
[ ]
{ }
f
K
u
=
（2.6）
将
{ }
f
和
{ }
u
替换成
{ }
F
和
{ }
U
，有：
[ ]
{ }
[ ][ ]
{ }
1
1
T
F
K T
U
−
−
=
(2.7)
这里
[ ]
1
T
−
是变换矩阵
[ ]
T
的逆矩阵，为
[ ]
1
cos
sin
0
0
sin
cos
0
0
0
0
cos
sin
0
0
sin
cos
T
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
−
=
−
（2.8）
方程(2.7)二边都乘以
[ ]
T
，得到：
{ }
[ ][ ][ ]
{ }
1
F
T
K T
U
−
=
(2.9)
替换方程(2.9)中的
[ ] [ ] [ ]
{ }
1
,
,
T
K
T
U
−
和
矩阵的值，相乘后得到：