AB
2
>OA
2
+OB
2
，
DC
2
>OD
2
+OC
2
AB
2
+DC
2
>OA
2
+OB
2
+OC
2
+OD
2
且
BC
2
<OB
2
+OC
2
,AD
2
<OA
2
+OD
2
BC
2
+AD
2
<OA
2
+OB
2
+OC
2
+OD
2
于是
AB
2
+DC
2
>BC
2
+AD
2
与题设矛盾。
(2)
∠
若
AOB<90°，与(1)类似地可推得
AB
2
+DC
2
<BC
2
+AD
2
仍与题设矛盾
(1)，(2)，可以说明原来假定 AC 和 BD 不垂直是错误的。因此，AC 和 BD 是互相垂直
的。
此例中，直接证明结果有困难，这时可从结论的反面着手思考问题。这个反面比结论本
身更具体、更简单，或者说更容易用明确的形式加以表达，那么结论的反面显然是进行推导
“
” “
” “
”
的更好的出发点。一般如要证某结果 不存在 、 至少存在几种 或 唯一存在 ，而从条件出
发又不易推出什么有关联的结论时，考虑用反证解决还是相宜的。
三、多向思维
多向思维是发散思维的典型形式，是从尽可能多的方面来考察同一问题，使思维不局
限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答或多种结果的思维方式。多向思维在解决问题
“
” “
”
“
”
时有三种基本形式，即 一题多解 ， 一法多用 ，以及 一题多变 ，它们在教学过程中都
“
” “
”
要用 一题多问 或 一题多思 作为启发诱导以生成解法和命题，在数学教学中恰当地适时
地加以运用，更容易诱发和培养学生的创造性思维。
例
6：如果一元二次方程：ax
2
+bx+c=0 的二根之比为 2∶3
求证：
6b
2
=25ac
分析：若想利用求根公式得出二
∶
“ ”
根，列式 ＝？时，难以确定 ？ 是
2∶3 呢还是 3∶2，思路不畅。
回过头再研究题目的条件和结论，由已
知 二 根 的 比 而 设 二 根 分 别 为
2m 和
3m(m0).
法一：从根的定义可得
a(2m)
2
+6(2m)+c=0
①
a(3m)
2
+b(3m)+c=0
②
①-② 两方程先消去 c 可得,再代
入
①即可获证。
法二：从二根的关系，可得
2m+3m=,
消去
m 即可得证。
法三：由方程二根去复原方程，可得
a(x-2m)(x-3m)=0
展开后已知方程比较系数，可得
b=-5ma ,c=6am
2
，消去
m 即可得证。
上面的解法紧扣教材中一元二次方程根的定义，根与系数的关系，已知二根求作方程
等基础，联系到比的性质运算技能，渗透了参数思想，训练了学生思维的灵活性。
例
7：已知方程 5x
2
+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 K 值。
教科书上的解法是先由根与系数
的关系求出另一个根为，再由求出
k=-7.这时可考虑施行如下的变化：
（
1）已知方程 5x
2
+kx-6=0 的一个根是 2，求 k 值。（解时不必用根与系数的关系，
也不必先求出另一个根，直接用方程根的定义即可求
K 值）。
a
ac
b
b
2
4
2
−
+
−
a
ac
b
b
2
4
2
−
−
−
≠
a
b
m
5
−
=
a
b
−
a
c
m
m
=
⋅
3
2
5
3
−
5
)
5
3
(
2
k
−
=
−
+