对盈余过程

{U（t），t0}来说，保险人最关心在某一时期内首次出现负盈余（即破产

发生）的时间机器破产发生的概率，即确定：

 

　　第一，破产发生时刻。

 

　　

T=inf{t：t0 且 U（t）<0}（11） 

　　如果对于一切的

t0，都有 U（t）>0，则约定 T=

∞，表示保险公司不会发生破产。 

　　第二，时间

t 以内破产发生概率。 

　　

?追（u，t）=P（T　　特别地，当 t

→∞时的概率?追（u）=P（T<∞）。 

　　称

?追（U）为初始盈余是 u 的情况下破产发生的概率，简称为破产概率。破产概率的

研究一直以来是人们关注的焦点，它是衡量一个保险机构金融风险的极其重要的尺度。

 

　　与破产时刻问题相联系，我们需要确定如下问题：

 

　　第一，直到时刻

t 为止的理赔次数过程 N（t）。 

　　第二，直到时刻

t 为止的理赔总量过程 S（t）=X。 

　　第三，

?追（u）及与?追（u）有关的调节系数 R，即下面关于 r 方程的正解： 

　　

1+（1+?兹）ur=MX（r）（13） 

　　其中

?兹为安全附加系数。 

　　第四，与

u-S（t）有关的一些特殊随机变量的概率分布。 

　　

2、理赔过程 

　　对某个确定的保险险种，把

N（t）记作直到时刻 t 为止的理赔次数，S（t）为直到时

刻

t 为止的总理赔量。假设初始时刻为 t=0，故 N（0）=0。显然，只要 N（t）=0，就有

S（t）=0。Xi 来表示对第 i 次理赔的理赔量，则 
　　

{N（t），t0}称为理赔次数过程，{S（t），t0}称为总理赔过程。 

　　对于式（

14）定义的 S（t），如果 X1，X2，

…，X 是相互独立且服从同一分布函数

P（x）的随机变量，它们还与过程{N（t），t0}独立，而且假设{N（t），t0}为 Poisson 过
程，则称

{S（t），t0}为复合 Poisson 过程。如果总理赔量过程是由参数?姿和 P（x）确定的

复合

Poisson 过程，则它和理赔次数有如下相似的性质： 

　　如果

t0，h>0，则 S（t+h）S（t）是由参数?姿 h 和 P（x）的确复合 Poisson 分布，也

就是说：

 

　　

P（S（t+h）-S（t）?燮 x）=P（x） 

　　这里

P（x）是分布函数 P（x）的的 k 重卷积。 

　　在长度为

dt 的无穷小区间中，可能没有理赔，也可能只有一次理赔量服从分布函数

P（x）的的理赔，有一次理赔的概率为?姿 dt，没有理赔的概率为 1-?姿 dt。 
　　对任意时刻

h，下一次理赔发生在 h+t 和 h+t+dt 之间，而且理赔量小于等于 x 的概率为

e?姿 dtP（x）。 
　　四、破产理论

 

　　破产理论是风险理论中非常重要的一个问题，对于保险公司而言，破产概率可以作为
综合保费和索赔过程的保险公司稳定性的一个指标，是风险管理的一个有用工具，它可以
作为保险公司一个十分有用的早期风险的警示手段，所以对破产理论的研究也具有很重要
的意义。

 

　　在盈余过程

U（t）=u+ct-S（t），t0 中通常人们最关心的是{u（t）<0}这一事件发生的

可能性，我们定义

u（t）<0 为破产发生。记破产发生的时刻为： 

　　

T=inf{t：t0 且 u（t）<0}（15） 

　　如果对于一切的

t0，都有 u（t）>0，则约定 T=

∞，表示保险公司不会发生破产。记?追