Contents

Introduction

1

Chapter 1. Lempert functions and Kobayashi metrics

11

1.1. Lempert functions and their ”derivatives”

11

1.2. Balanced domains

18

1.3. Kobayashi–Buseman metric

23

1.4. Interpolation in the Arakelian theorem

26

1.5. Generalized Lempert function

28

1.6. Product property

32

Chapter 2. The symmetrized polydisc and the spectral ball

38

2.1. Preliminaries

38

2.2. Cyclic matrices

42

2.3.

G

n

is not a Lu Qi-Keng domain for n ≥ 3

43

2.4. Generalized balanced domains

47

2.5. Notions of complex convexity

52

2.6.

G

n

∈ L for n ≥ 3

58

2.7. Estimates for γ

G

2n+1

(0; e

2

)

64

2.8. Continuity of l

Ω

n

(A, ·)

71

2.9. Zeroes of κ

Ω

n

75

2.10. The Kobayashi metric vs. the Lempert function

81

Chapter 3. Estimates and boundary behavior of invariant metrics

on

C-convex domains

87

3.1. Estimates for the Carath´eodory and Kobayashi metrics

87

3.2. Types of boundary points

90

3.3. Estimates for the Bergman kernel and the Bergman metric 93
3.4. Maximal basis. A counterexample

100

3.5. Estimates in a maximal basis

102

3.6. Localizations

105

3.7. Localization of the Bergman kernel and the Bergman

metric

108

3.8. Boundary behavior of invariant metrics of planar domains 115

Bibliography

122

3